Question

某同學在研究函數f（x）=

x2+1

+

x2-6x+10

的性質時，受到兩點間距離公式的啟發，將f（x）變形為f（x）=

(x-0)2+(0-1)2

+

(x-3)2+(0+1)2

，則f（x）表示|PA|+|PB|（如左圖），則 
①f（x）的圖象是中心對稱圖形；
②f（x）的圖象是軸對稱圖形；
③函數f（x）的值域為[

13

，+∞)；
④函數f（x）在區間（-∞，3）上單調遞減；
⑤方程f[f(x)]=1+

10

有兩個解．
上述關于函數f（x）的描述正確的個數為（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：兩點間距離公式的應用

專題：函數的性質及應用

分析：由函數的幾何意義可得函數的值域及單調性，結合函數的值域和單調性逐個選項驗證即可作出判斷．

解答： 解：∵函數f（x）的最小值為|AB|=

32+(1+1)2

=

13

，
∴函數的值域[

13

，+∞)，顯然③正確；
由函數的值域知，函數圖象不可能為中心對稱圖形，故①錯誤；
又∵直線AB與x軸交點的橫坐標為

3

2

，顯然有f(

3

2

-x)=f(

3

2

+x)，
∴函數的圖象關于直線x=

3

2

對稱，故②正確；
由函數的幾何意義知函數在區間(-∞，

3

2

]上單調遞減，在區間[

3

2

，+∞)上單調遞增，故④錯誤；
令t=f（x），由f(t)=1+

10

得t=0或t=3，由函數的值域可知不成立，∴方程無解，故⑤錯誤，
故選：B．

點評：本題考查函數的性質，涉及兩點間的距離公式，屬中檔題．