Question

【題目】已知拋物線的焦點為，傾斜角為的直線過點與拋物線交于兩點， 為坐標原點， 的面積為.

（1）求；

（2）設點為直線與拋物線在第一象限的交點，過點作的斜率分別為的兩條弦，如果，證明直線過定點，并求出定點坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線經過定點.

【解析】試題分析：

(1)焦點坐標，聯立直線方程與拋物線方程得.

結合韋達定理和面積公式得到關于實數p的方程： ，

解得.

(2)很明顯都不等于零.設直線，與拋物線方程聯立，結合韋達定理可得直線方程為，則直線經過定點.

試題解析：

（1），則直線的方程為，代入拋物線方程得.

設，則.

根據拋物線定義，所以.

坐標原點到直線的距離 .

所以的面積為，解得.

（2）拋物線方程為，直線，即，解得.

設.根據題意，顯然都不等于零.

直線，即，代入拋物線方程得.

由于點在拋物線上，依據根與系數的關系得，所以. 同理.

而直線的方程為，因為也拋物線上，所以代入上述方程并整理得，

，

.

令，則，代入的方程得，

整理得，

若上式對任意變化的恒成立，則，解得

故直線經過定點.