Question

【題目】橢圓的左、右焦點分別為，為橢圓上一動點（異于左、右頂點），若的周長為，且面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設是橢圓上兩動點，線段的中點為，的斜率分別為 為坐標原點，且，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）通過2a+2c=且，計算即得結論；

（2）當直線AB的斜率k＝0時，|OP|，

當直線AB的斜率k≠0時，可令AB的方程為：x＝my+t，由可得（m2+4）y2+2mty+t2﹣4＝0，求得p（，）．由，2t2＝m2+4，代入|OP|2的運算中，化簡得|OP|2∈（，2]即可．

（1）由題知，的周長為2a+2c=且，

∴，c=

∴橢圓C的方程為：；

（2）當直線AB的斜率k＝0時，

此時k1，k2（O為坐標原點），滿足，k1＝-k2=﹣．

可令OB的方程為：y，（xB＞0）

由可得B（，），

此時|OP|，

當直線AB的斜率k≠0時，可令AB的方程為：x＝my+t，

由可得（m2+4）y2+2mty+t2﹣4＝0，

△＝4m2t2﹣4（m2+4）（t2﹣4）＞0m2﹣t2+4＞0…①

，

x1+x2＝m（y1+y2）+2t．

∴p（，）．

∵，∵4y1y2+x1x2＝0．

（4+m2）y1y2+mt（y1+y2）+t2＝0．

t2﹣4t2＝0．

2t2＝m2+4，且t2≥2，…②

由①②可得t2≥2恒成立，

|OP|2∈（，2]

|OP|．

綜上，|OP|的取值范圍為[，]．