Question

已知向量

a

=（sinx，

3

4

），

b

=（cosx，-1）．
（1）當

a

∥

b

時，求tan（x-

π

4

）的值；
（2）設函數f（x）=2（

a

+

b

）•

b

，當x∈[0，

π

2

]時，求f（x）的值域．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,平面向量共線（平行）的坐標表示

專題：計算題,三角函數的求值,三角函數的圖像與性質,平面向量及應用

分析：（1）運用向量的關系的坐標表示和同角的商數關系及兩角差的正切公式，計算即可得到；
（2）運用向量的數量積的坐標表示和二倍角公式及兩角和的正弦公式，化簡f（x），再由正弦函數的圖象和性質，即可得到f（x）的值域．

解答： 解：（1）

a

∥

b

即有

3

4

cosx+sinx=0，即tanx=-

3

4

，
tan（x-

π

4

）=

tanx-1

1+tanx

=

- 3 4 -1

1- 3 4

=-7；
（2）f（x）=2（

a

+

b

）•

b

=2cosx（sinx+cosx）+

1

2

=sin2x+cos2x+

3

2

=

2

sin（2x+

π

4

）+

3

2

，
當x∈[0，

π

2

]時，2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，
即-

2

2

≤sin(2x+

π

4

)≤1，
則

1

2

≤f（x）≤

3

2

+

2

，
則f（x）的值域為[

1

2

，

3

2

+

2

]．

點評：本題考查平面向量的共線和數量積的坐標表示，考查三角函數的化簡和求值，考查正弦函數的圖象和性質，考查運算能力，屬于中檔題．