Question

已知平面向量

a

=（

2

，

2

），

b

=（sin

π

4

x，cos

π

4

x），函數f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）將函數f（x）的圖象上的所有的點向左平移1個單位長度，得到函數y=g（x）的圖象，若函數y=g（x）+k在（-2，4）上有兩個零點，求實數k的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）∵f(x)=

a

•

b

=

2

sin

π

4

x+

2

cos

π

4

x
=2(

2

2

sin

π

4

x+

2

2

cos

π

4

x)
=2sin(

π

4

x+

π

4

)，
∴T=

2π

π 4

=8．
∴函數f（x）的最小正周期為8．
（Ⅱ）依題意將函數f（x）的圖象向左平移1個單位后得到函數
y=g（x）=2sin[

π

4

(x+1)+

π

4

]=2cos

π

4

x，
函數y=g（x）+k在（-2，4）上有兩個零點，即函數y=g（x）與y=-k在x∈（-2，4）有兩個交點，如圖所示．
∴當0＜-k＜2，即-2＜k＜0，
∴實數k取值范圍為-2＜k＜0．