Question

【題目】設函數f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，記f（x）的最大值為A．
（1）求f′（x）；
（2）求A；
（3）證明：|f′（x）|≤2A．

Answer 1

【答案】
（1）

解：f′（x）=﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx

（2）

當a≥1時，|f（x）|=|acos2x+（a﹣1）（cosx+1）|≤a+2（a﹣1）=3a﹣2=f（0），因此A=3a﹣2．

當0＜a＜1時，f（x）等價為f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）=2acos2x+（a﹣1）cosx﹣1，

令g（t）=2at2+（a﹣1）t﹣1，

則A是|g（t）|在[﹣1，1]上的最大值，g（﹣1）=a，g（1）=3a﹣2，

且當t= 時，g（t）取得極小值，極小值為g（ ）=﹣ ﹣1=﹣ ，

令﹣1＜ ＜1，得a＜ （舍）或a＞ ．因此A=3a﹣2

g（﹣1）=a，g（1）=3a+2，a＜3a+2，∴t=1時，g（t）取得最大值，g（1）=3a+2，即f（x）的最大值為3a+2．

綜上可得：t=1時，g（t）取得最大值，g（1）=3a+2，即f（x）的最大值為3a+2．

∴A=3a+2．

①當0＜a≤ 時，g（t）在（﹣1，1）內無極值點，|g（﹣1）|=a，|g（1）|=2﹣3a，|g（﹣1）|＜|g（1）|，

∴A=2﹣3a，

②當 ＜a＜1時，由g（﹣1）﹣g（1）=2（1﹣a）＞0，得g（﹣1）＞g（1）＞g（ ），

又|g（ ）﹣g（﹣1）|= ＞0，

∴A=|g（ ）|= ，

綜上，A= ．

（3）

證明：由（1）可得：|f′（x）|=|﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx|≤2a+|a﹣1|，

當0＜a≤ 時，|f′（x）|≤1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）=2A，

當 ＜a＜1時，A= = + + ≥1，

∴|f′（x）|≤1+a≤2A，

當a≥1時，|f′（x）|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A，

綜上：|f′（x）|≤2A．

【解析】（1）根據復合函數的導數公式進行求解即可求f′（x）；
（2）討論a的取值，利用分類討論的數學，結合換元法，以及一元二次函數的最值的性質進行求解；
（3）由（1），結合絕對值不等式的性質即可證明：|f′（x）|≤2A．
本題主要考查函數的導數以及函數最值的應用，求函數的導數，利用函數單調性和導數的關系，以及換元法，轉化法轉化法轉化為一元二次函數是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．