Question

【題目】設a∈R，f（x）= 為奇函數．
（1）求函數F（x）=f（x）+2x﹣ ﹣1的零點；
（2）設g（x）=2log2（ ），若不等式f﹣1（x）≤g（x）在區間[ ， ]上恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是奇函數

∴f（0）=0

∴a=1，f（x）=

F（x）= =

由22x+2x﹣6=0=0，可得2x=2，所以，x=1，

即F（x）的零點為x=1

（2）解：f﹣1（x）= ，在區間[ ]上，由f﹣1（x）≤g（x）恒成立，

∴ 恒成立，即 恒成立

即k2≤1﹣x2，x∈[ ]，

∴ ，k＞0，

所以0＜k≤

【解析】由f（x）是奇函數，可得f（0）=0，可求a，進而可求f（x）（1）令F（x）=0可求函數F（x）的零點（2）由f﹣1（x）≤g（x）恒成立，可得 恒成立，可得k2≤1﹣x2 ， x∈[ ]恒成立，只要k2≤（1﹣x2）min即可求解
【考點精析】本題主要考查了函數奇偶性的性質和函數的零點的相關知識點，需要掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇；函數的零點就是方程的實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標．即：方程有實數根，函數的圖象與坐標軸有交點，函數有零點才能正確解答此題．