Question

已知f（x）是定義在[-e，e]上的奇函數，當x∈（0，e）時，f（x）=e^x+lnx，其中e是自然對數的底數．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的圖象在點P（-1，f（-1））處的切線方程．

Answer 1

分析：（1）先設x∈[-e，0），據已知條件求出f（-x），在利用奇函數，求出f（x）在[-e，0）上的解析式，同時可求出所求；
（2）先求出切點坐標，然后求出該點處的導數即為切線的斜率，最后利用點斜式表示出直線方程即可．

解答：解：（1）設x∈[-e，0），則-x∈（0，e]
∴f（x）=-f（-x）=-[e^-x+ln（-x）]
∵f（x）是定義在[-e，e]上的奇函數
∴f（0）=0
∴f（x）=

-e-x+ln(-x)   ，x∈[-e，0) 0                ，x=0 ex+lnx        ，x∈(0，e]

（2）f（-1）=-e，故P（-1，-e），
當x∈[-e，0），時f′（x）=ex-

1

x

，f′（-1）=e+1
故過點P（-1，-e）的切線方程為y+e=（e+1）（x+1），即y=（e+1）x+1．

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及函數解析式，求函數在某范圍內的解析式，一般先將自變量設在該范圍內，再想法轉化到已知范圍上去，屬于基礎題．