Question

【題目】由四棱柱截去三棱錐后得到的幾何體如圖所示，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，為與的交點(diǎn)，為的中點(diǎn)，平面．

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）若直線與平面所成的角為，求線段的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接、，證明四邊形為平行四邊形，可得出，再利用線面平行的判定定理可證明出平面；

（Ⅱ）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，計(jì)算出平面的一個(gè)法向量，利用直線與平面所成的角為，計(jì)算出的值，進(jìn)而得解.

（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接、，

由于為四棱柱，所以，且，

四邊形為平行四邊形，則且，

、分別為、的中點(diǎn)，所以，且，

因此四邊形為平行四邊形，所以．

又平面，平面，所以平面；

（Ⅱ）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，

易知、、、，從而可得．

設(shè)平面的法向量為，

又，，故有，解得，

可取．

由題意得，

解得，即線段的長(zhǎng)為．