Question

如圖所示一個擺長為L=10/π²米的單擺，擺球質量為m=0.1千克，靜止于平衡位置．另有質量均為m=0.1千克的小球n個與擺球在同一高度且在同一直線上，以相同的速度v=4米每秒向左運動，相鄰兩小球到達擺球平衡位置的時間間隔是1秒鐘．每一個小球與擺球相撞后都和擺球粘在一起共同運動．（擺球和小球均視為質點，g=10m/s²）
求：（1）擺球擺動的最大高度
（2）第8個小球與擺球相撞后，擺球的速度
（3）第n個小球與擺球相撞后單擺獲得的動能．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據單擺的周期公式，代入數據，求出周期，并根據動量守恒定律，與能量守恒相結合，即可求解；
（2）根據動量守恒定律，從而可得出結論；
（3）對第n個小球與擺球相撞后，運用動量守恒定律，并通過動能表達，即可求解．
解答：解：單擺的周期：T=2π=2π s=2s
擺球碰撞后再回到平衡位置的時間是1s，每次擺球回到平衡位置時跟下一個小球碰撞
（1）第一個小球碰撞后
動量守恒定律，mv=2mv₁     
則有v₁=
以后的小球與擺球碰撞后由于質量的增加速度逐漸減小，所以擺球擺動的最大高度是第一個小球碰撞后
2mgh=2×mv₁²
解得：h=0.2m
（2）第二個小球與擺球碰撞后
動量守恒定律，2mv₁-mv=3mv₂    v₂=0  即碰后擺球靜止
同理：第3、5、7、9…個小球碰后，擺球擺動；
第2、4、6、8…個小球碰后擺球靜止
所以，第8個小球與擺球相撞后，擺球的速度是零  v₈=0
（3）第n個小球與擺球相撞后
若n為奇數：則v_n-1=0
動量守恒定律，mv=（n+1）mv_n  
解得：v_n=
此時單擺的動能：E_k=（n+1）mv_n²=mv²（n+1）=J
若n為偶數：則：v_n=0 單擺獲得的動能為零
答：（1）擺球擺動的最大高度為0.2m；
（2）第8個小球與擺球相撞后，擺球的速度為0；
（3）第n個小球與擺球相撞后單擺獲得的動能為J．
點評：考查單擺周期公式的應用，涉及動量守恒定律、能量守恒定律、及動能表達式，并掌握動量守恒定律的條件判定，同時注意其矢量性．