Question

如圖所示為回旋加速器的示意圖．它由兩個(gè)鋁制D型金屬扁盒組成，兩個(gè)D形盒正中間開有一條狹縫，兩個(gè)D型盒處在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中并接在高頻交變電源上．在D₁盒中心A處有離子源，它產(chǎn)生并發(fā)出的a粒子，經(jīng)狹縫電壓加速后，進(jìn)入D₂盒中．在磁場(chǎng)力的作用下運(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周后，再次經(jīng)狹縫電壓加速．為保證粒子每次經(jīng)過(guò)狹縫都被加速，設(shè)法使交變電壓的周期與粒子在狹縫及磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期一致．如此周而復(fù)始，速度越來(lái)越大，運(yùn)動(dòng)半徑也越來(lái)越大，最后到達(dá)D型盒的邊緣，以最大速度被導(dǎo)出．已知a粒子電荷量為q，質(zhì)量為m，加速時(shí)電極間電壓大小恒為U，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，D型盒的半徑為R，設(shè)狹縫很窄，粒子通過(guò)狹縫的時(shí)間可以忽略不計(jì)，設(shè)a粒子從離子源發(fā)出時(shí)的初速度為零．（不計(jì)a粒子重力）求：
（1）a粒子第一次被加速后進(jìn)入D₂盒中時(shí)的速度大��；
（2）a粒子被加速后獲得的最大動(dòng)能E_k和交變電壓的頻率f
（3）a粒子在第n次由D₁盒進(jìn)入D₂盒與緊接著第n+1次由D₁盒進(jìn)入D₂盒位置之間的距離△x．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子被第一次加速后的速度．
（2）a粒子在磁場(chǎng)中由洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，利用牛頓第二定律求出軌道的半徑，當(dāng)粒子的軌道半徑等于D型盒的半徑R時(shí)，動(dòng)能最大．根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的公式求解粒子圓周運(yùn)動(dòng)的頻率．粒子要被不斷加速，交變電壓的頻率f必須等于粒子圓周運(yùn)動(dòng)的頻率．
（3）回旋加速器是利用電場(chǎng)加速和磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)來(lái)加速粒子，根據(jù)動(dòng)能定理求出n次加速后的速度，求出軌道半徑，抓住規(guī)律，求出△x．

解答：解：（1）設(shè)α粒子第一次被加速后進(jìn)入D₂盒中時(shí)的速度大小為v₁，根據(jù)動(dòng)能定理有
   qU=

1

2

m

v

2 1

解得，v1=

2qU m

（2）α粒子在D形盒內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑達(dá)到最大時(shí)被引出，具有最大動(dòng)能．設(shè)此時(shí)的速度為v，有
  qvB=

mv2

R

解得：v=

qBR

m

設(shè)α粒子的最大動(dòng)能為E_k，則
   E_k=

1

2

mv2
解得：E_k=

q2B2R2

2m

設(shè)交變電壓的周期為T、頻率為f，為保證粒子每次經(jīng)過(guò)狹縫都被加速，帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一周的時(shí)間應(yīng)等于交變電壓的周期（在狹縫的時(shí)間極短忽略不計(jì)），則
交變電壓的頻率T=

2πR

v

=

2πm

Bq

由f=

1

T

得
則交變電壓的頻率f=

Bq

2πm

（3）離子經(jīng)電場(chǎng)第1次加速后，以速度v₁進(jìn)入D₂盒，設(shè)軌道半徑為r₁
則  r 1=

mv2

qB

=

1

B

2mU q

離子經(jīng)第2次電場(chǎng)加速后，以速度v₂進(jìn)入D₁盒，設(shè)軌道半徑為r₂
則 r 2=

mv2

qB

=

1

B

2×2mU q

離子第n次由D₁盒進(jìn)入D₂盒，離子已經(jīng)過(guò)（2n+1）次電場(chǎng)加速，以速度v_2n+1進(jìn)入D₂盒，由動(dòng)能定理：
  （2n+1）Uq=

1

2

mv

2 2n+1

軌道半徑 r_n=

mv2n+1

qB

=

1

B

(2n+1)2mU q

離子經(jīng)第n+1次由D₁盒進(jìn)入D₂盒，離子已經(jīng)過(guò)2n+2次電場(chǎng)加速，以速度v_2n+2進(jìn)入D₁盒，由動(dòng)能定理：
  （2n+2）Uq=

1

2

m

v

2 2n+2

軌道半徑：r_n+1=

mv2n+2

qB

=

1

B

(2n+2)2mU q

則△x=2（r_n+1-r_n）（如圖所示）
解得，△x=2（

mv2n+2

qB

-

mv2n+1

qB

）=

2

B

2Um q

（

2n+2

-

2n+1

）
答：（1）a粒子第一次被加速后進(jìn)入D₂盒中時(shí)的速度大小是

2qU m

；
（2）a粒子被加速后獲得的最大動(dòng)能E_k是

q2B2R2

2m

，交變電壓的頻率f是

Bq

2πm

；
（3）a粒子在第n次由D₁盒進(jìn)入D₂盒與緊接著第n+1次由D₁盒進(jìn)入D₂盒位置之間的距離△x是

2

B

2Um q

（

2n+2

-

2n+1

）．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵知道回旋加強(qiáng)器的工作原理，利用磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)，電場(chǎng)加速．以及知道回旋加強(qiáng)器加速粒子的最大動(dòng)能與什么因素有關(guān)．運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法研究規(guī)律，求解△x．