Question

如圖所示為回旋加速器的示意圖．它由兩個鋁制D型金屬扁盒組成，兩個D形盒正中間開有一條狹縫，兩個D型盒處在勻強磁場中并接在高頻交變電源上．在D₁盒中心A處有離子源，它產生并發出的a粒子，經狹縫電壓加速后，進入D₂盒中．在磁場力的作用下運動半個圓周后，再次經狹縫電壓加速．為保證粒子每次經過狹縫都被加速，設法使交變電壓的周期與粒子在狹縫及磁場中運動的周期一致．如此周而復始，速度越來越大，運動半徑也越來越大，最后到達D型盒的邊緣，以最大速度被導出．已知a粒子電荷量為q，質量為m，加速時電極間電壓大小恒為U，磁場的磁感應強度為B，D型盒的半徑為R，設狹縫很窄，粒子通過狹縫的時間可以忽略不計，設a粒子從離子源發出時的初速度為零．（不計a粒子重力）求：
（1）a粒子第一次被加速后進入D₂盒中時的速度大��；
（2）a粒子被加速后獲得的最大動能E_k和交變電壓的頻率f
（3）a粒子在第n次由D₁盒進入D₂盒與緊接著第n+1次由D₁盒進入D₂盒位置之間的距離△x．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據動能定理求出粒子被第一次加速后的速度．
（2）a粒子在磁場中由洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運動，利用牛頓第二定律求出軌道的半徑，當粒子的軌道半徑等于D型盒的半徑R時，動能最大．根據圓周運動的公式求解粒子圓周運動的頻率．粒子要被不斷加速，交變電壓的頻率f必須等于粒子圓周運動的頻率．
（3）回旋加速器是利用電場加速和磁場偏轉來加速粒子，根據動能定理求出n次加速后的速度，求出軌道半徑，抓住規律，求出△x．
解答：解：（1）設α粒子第一次被加速后進入D₂盒中時的速度大小為v₁，根據動能定理有
  
解得，
（2）α粒子在D形盒內做圓周運動，軌道半徑達到最大時被引出，具有最大動能．設此時的速度為v，有
 
解得：
設α粒子的最大動能為E_k，則
   E_k=
解得：E_k=
設交變電壓的周期為T、頻率為f，為保證粒子每次經過狹縫都被加速，帶電粒子在磁場中運動一周的時間應等于交變電壓的周期（在狹縫的時間極短忽略不計），則
交變電壓的頻率T==
由得
則交變電壓的頻率
（3）離子經電場第1次加速后，以速度v₁進入D₂盒，設軌道半徑為r₁
則  
離子經第2次電場加速后，以速度v₂進入D₁盒，設軌道半徑為r₂
則
離子第n次由D₁盒進入D₂盒，離子已經過（2n-1）次電場加速，以速度v_2n-1進入D₂盒，由動能定理：
  
軌道半徑 
離子經第n+1次由D₁盒進入D₂盒，離子已經過2n次電場加速，以速度v_2n進入D₁盒，由動能定理：
 
軌道半徑：
則△x=2（r_n+1-r_n）（如圖所示）
解得，△x=2（=（-）
答：（1）a粒子第一次被加速后進入D₂盒中時的速度大小是；
（2）a粒子被加速后獲得的最大動能E_k是，交變電壓的頻率f是；
（3）a粒子在第n次由D₁盒進入D₂盒與緊接著第n+1次由D₁盒進入D₂盒位置之間的距離△x是（-）．
點評：解決本題的關鍵知道回旋加強器的工作原理，利用磁場偏轉，電場加速．以及知道回旋加強器加速粒子的最大動能與什么因素有關．運用數學歸納法研究規律，求解△x．