Question

（2011?安徽）如圖所示，在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，半徑為R的半圓形區(qū)域內(nèi)，有相互垂直的勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，磁場方向垂直于xOy平面向里．一帶正電的粒子（不計(jì)重力）從O點(diǎn)沿y軸正方向以某一速度射人，帶電粒子恰好做勻速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)t₀時(shí)間從P點(diǎn)射出．
（1）電場強(qiáng)度的大小和方向．
（2）若僅撤去磁場，帶電粒子仍從O點(diǎn)以相同的速度射人，經(jīng)

t0

2

時(shí)間恰從半圓形區(qū)域的邊界射出，求粒子運(yùn)動(dòng)加速度大小
（3）若僅撤去電場，帶電粒子仍從O點(diǎn)射入但速度為原來的4倍，求粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子沿y軸做直線運(yùn)動(dòng)，說明粒子的受力平衡，即受到的電場力和磁場力大小相等，從而可以求得電場強(qiáng)度的大小；
（2）僅有電場時(shí)，帶電粒子在勻強(qiáng)電場中作類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可以求得粒子運(yùn)動(dòng)加速度大小；
（3）僅有磁場時(shí)，入射速度v^′=4v，帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系可以求得圓周運(yùn)動(dòng)的半徑的大小，由周期公式可以求得粒子的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

解答：解：（1）設(shè)帶電粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q，初速度為v，電場強(qiáng)度為E．可判斷出粒子受到的洛倫磁力沿x軸負(fù)方向，于是可知電場強(qiáng)度沿x軸正方向
且有    qE=qvB                       ①
又     R=vt₀                         ②
則     E=

BR

t0

?③
（2）僅有電場時(shí)，帶電粒子在勻強(qiáng)電場中作類平拋運(yùn)動(dòng)
在y方向位移     y=v

t0

2

④
由②④式得   y=

R

2

                       ⑤
設(shè)在水平方向位移為x，因射出位置在半圓形區(qū)域邊界上，于是
   x=

3

2

R                    
又有         x=

1

2

a(

t0

2

)2                 ⑥
得       a=

4 3 R

t 2 0

                      ⑦
（3）僅有磁場時(shí)，入射速度v^′=4v，帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
設(shè)軌道半徑為r，由牛頓第二定律有
 qv′B=m

v′2

r

            ⑧
又  qE=ma                  ⑨
由③⑦⑧⑨式得     r=

3

3

R                 ⑩
由幾何關(guān)系    sinα=

R

2r

                  （11）
即     sinα=

3

2

    
所以 α=

π

3

              （12）
帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)周期
T=

2πm

qB

則帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間
  t_B=

2α

2π

T                                 
所以 t_B=

3 π

18

t₀             （13）

點(diǎn)評(píng)：本題考查帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)，要掌握住半徑公式、周期公式，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡后，幾何關(guān)系就比較明顯了．