Question

（2011?安徽）如圖所示，質(zhì)量M=2kg的滑塊套在光滑的水平軌道上，質(zhì)量m=1kg的小球通過長L=0.5m的輕質(zhì)細(xì)桿與滑塊上的光滑軸O連接，小球和輕桿可在豎直平面內(nèi)繞O軸自由轉(zhuǎn)動，開始輕桿處于水平狀態(tài)，現(xiàn)給小球一個豎直向上的初速度v₀=4m/s，g取10m/s²．
（1）若鎖定滑塊，試求小球通過最高點(diǎn)P時(shí)對輕桿的作用力大小和方向．
（2）若解除對滑塊的鎖定，試求小球通過最高點(diǎn)時(shí)的速度大小．
（3）在滿足 （2）的條件下，試求小球擊中滑塊右側(cè)軌道位置點(diǎn)與小球起始位置點(diǎn)間的距離．

Answer 1

分析：（1）小球上升到最高點(diǎn)的過程中，符合機(jī)械能守恒定律，先解決最高點(diǎn)小球的速度，再由向心力公式求得細(xì)桿對小球的作用力，根據(jù)牛頓第三定律知道球?qū)�桿的作用力．
（2）解除對滑塊的鎖定，小球在上升過程中，因系統(tǒng)在水平方向上不受外力作用，所以水平方向的動量守恒；另外在上升過程中，因只有重力做功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒．聯(lián)立動量守恒和機(jī)械能守恒方程求解．
（3）系統(tǒng)水平方向的動量守恒，兩個物體速度時(shí)刻滿足與質(zhì)量成反比的關(guān)系，在相同的時(shí)間內(nèi)位移也應(yīng)該滿足這個比例關(guān)系，而兩個物體之間的距離和為定值，故距離可求．本題也可以采用質(zhì)心原理求得．

解答：解：（1）設(shè)小球能通過最高點(diǎn)，且此時(shí)的速度為v₁．在上升過程中，因只有重力做功，小球的機(jī)械能守恒．則

1

2

m

v

2 1

+mgL=

1

2

m

v

2 0

…①
v1=

6

m/s…②
設(shè)小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，輕桿對小球的作用力為F，方向向下，
則 F+mg=m

v 2 1

L

…③
由②③式，得 F=2N…④
由牛頓第三定律可知，小球?qū)�輕桿的作用力大小為2N，方向豎直向上．
（2）解除鎖定后，設(shè)小球通過最高點(diǎn)時(shí)的速度為v₂，此時(shí)滑塊的速度為V．
在上升過程中，因系統(tǒng)在水平方向上不受外力作用，水平方向的動量守恒．
以水平向右的方向?yàn)檎�方向，�?mv₂-MV=0…⑤
在上升過程中，因只有重力做功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，
則

1

2

m

v

2 2

+

1

2

MV2+mgL=

1

2

m

v

2 0

…⑥
由⑤⑥式，得 v₂=2m/s
（3）設(shè)小球擊中滑塊右側(cè)軌道的位置點(diǎn)與小球起始點(diǎn)的距離為s₁，滑塊向左移動的距離為s₂，
任意時(shí)刻小球的水平速度大小為v₃，滑塊的速度大小為V′．
由系統(tǒng)水平方向的動量守恒，得 mv₃-MV'=0…⑦
將⑦式兩邊同乘以△t，得 mv₃△t-MV'△t=0…⑧
因⑧式對任意時(shí)刻附近的微小間隔△t 都成立，累積相加后，有
ms₁-Ms₂=0…⑨
又 s₁+s₂=2L…⑩
由⑨⑩式得 s1=

2

3

m
答：（1）小球通過最高點(diǎn)P時(shí)對輕桿的作用力大小為2N，方向豎直向上．
（2）小球通過最高點(diǎn)時(shí)的速度v₂=2m/s．
（3）小球擊中滑塊右側(cè)軌道位置點(diǎn)與小球起始位置點(diǎn)間的距離s1=

2

3

m

點(diǎn)評：本題考查了連接體問題中的動量守恒和機(jī)械能守恒，滑塊鎖定和不鎖定的區(qū)別非常重要：滑塊鎖定小球機(jī)械能守恒，滑塊解鎖系統(tǒng)機(jī)械能守恒兩個物體水平方向上動量守恒；這是一道比較困難的力學(xué)綜合題．可以作為高考的壓軸題出現(xiàn)．