Question

（2011?開封二模）北斗導航系統又被稱為“雙星定位系統”，具有導航，定位等功能．“北斗”系統中兩顆工作衛星均圍繞地心做勻速圓周運動，軌道半徑為r，某時刻兩顆工作衛星分別位于軌道上的AB兩位置（如圖所示）．若衛星均順時針運行，地球表面處的重力加速度為g，地球半徑為R，不計衛星間的相互作用力．則下列判斷中錯誤的是（　�。�

• A．這兩顆衛星的加速度大小相等，均為

  R2g

  r2

• B．若衛星1加速或衛星2減速，衛星1將與衛星2相撞
• C．衛星1由位置A運動到位置B所需的時間為

  πr

  3R

  r g

• D．衛星1由位置A運動到位置B的過程中萬有引力做功為0

Answer 1

分析：根據萬有引力提供向心力，以及黃金代換式GM=gR²，可以解出衛星的加速度大�。�
衛星1加速后將做離心運動，衛星2減速會做近心運動，它們均會離開原來的圓軌道．
根據萬有引力提供向心力求出衛星的角速度，然后通過轉過的角度求出時間．
衛星在運動的過程中萬有引力與速度方向垂直，不做功．

解答：解：A、根據萬有引力提供向心力：

GMm

r2

=ma，
解得：a=

GM

r2

①
而

GM

R2

=g ②
由①②解得衛星的加速度：a=

gR2

r2

，故A正確．
B、衛星1加速后萬有引力不夠提供向心力，做離心運動，會離開原來的圓軌道，同樣衛星2減速會做近心運動，所以兩衛星一定不在同一軌道上，不可能相遇，故B錯誤．
C、根據萬有引力提供向心力

GMm

r2

=mrω ²，ω=

GM r3

=

gR2 r3

，所以衛星1由位置A運動到位置B所需的時間t=

π 3

ω

=

πr

3R

r g

，故C正確．
D、衛星在運動的過程中萬有引力與速度方向垂直，不做功，故D正確．
故選：B

點評：解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力

GMm

r2

=ma，以及黃金代換式GM=gR²，把要求解的物理量先表示出來即可．