Question

（16分） 如圖所示為摩托車特技比賽用的部分賽道，由一段傾斜坡道AB與豎直圓形軌道BCD銜接而成，銜接處平滑過渡且長度不計．已知坡道的傾角θ＝11.5°，圓形軌道的半徑R＝10 m，摩托車及選手的總質量m＝250 kg，摩托車在坡道行駛時所受阻力為其重力的0.1倍．摩托車從坡道上的A點由靜止開始向下行駛，A與圓形軌道最低點B之間的豎直距離h＝5 m，發動機在斜坡上產生的牽引力F＝2750 N，到達B點后摩托車關閉發動機．已知sin11.5°＝，g取10 m/s²，求：

(1) 摩托車在AB坡道上運動的加速度；
(2) 摩托車運動到圓軌道最低點時對軌道的壓力；
(3) 若運動到C點時恰好不脫離軌道，求摩托車在BC之間克服摩擦力做的功．

Answer 1

（1）12 m/s²   （2）1.75×10⁴ N，方向豎直向下；（3）1.25×10⁴ J

試題分析： (1) 由受力分析與牛頓第二定律可知
F＋mgsinθ－kmg＝ma      (2分)
代入數據解得a＝12 m/s²        (2分)
(2) 設摩托車到達B點時的速度為v₁，由運動學公式可得
v＝2ah/sinθ，由此可得v₁＝10 m/s      (2分)
在B點由牛頓第二定律可知
F_N－mg＝m         (2分)
軌道對摩托車的支持力為F_N＝1.75×10⁴ N       (1分)
據牛頓第三定律，則摩擦車對軌道的壓力為1.75×10⁴ N         (1分)
方向豎直向下       (1分)
(3) 摩托車恰好不脫離軌道時，在最高點速度為v₂
由牛頓第二定律得mg＝m   (2分)
從B點到C點，由動能定理得－mg2R－W_f＝mv－mv        (2分)
由此可解得W_f＝1.25×10⁴ J