Question

（19分）如圖所示，在坐標系xoy的第一、第三象限內存在相同的勻強磁場，磁場方向垂直于xoy面向里；第四象限內有沿y軸正方向的勻強電場，電場強度大小為E. 一質量為、帶電量為的粒子自y軸的P點沿x軸正方向射入第四象限，經x軸上的Q點進入第一象限，隨即撤去電場，以后僅保留磁場。已知OP=d,OQ=2d,不計粒子重力。

（1）求粒子過Q點時速度的大小和方向。
（2）若磁感應強度的大小為一定值B₀，粒子將以垂直y軸的方向進入第二象限，求B₀；
（3）若磁感應強度的大小為另一確定值，經過一段時間后粒子將再次經過Q點，且速度與第一次過Q點時相同，求該粒子相鄰兩次經過Q點所用的時間。

Answer 1

（1） （2）   （3）

解析試題分析：（1）設粒子在電場中運動的時間為，加速度的大小為a，粒子的初速度為，過Q點時速度的大小為v，沿y軸方向分速度的大小為，速度與x軸正方向間的夾角為，由牛頓第二定律得 ⑴
由運動學公式得 ⑵  ⑶  ⑷  ⑸   ⑹
聯立⑴⑵⑶⑷⑸⑹式  ⑺    ⑻

（2）設粒子做圓周運動的半徑為，粒子在第一象限的運動軌跡如圖所示，為圓心，由幾何關系可知△O₁OQ為等腰直角三角形，得 ⑼
由牛頓第二定律得           ⑽
聯立⑺⑼⑽式得              ⑾

（3）設粒子做圓周運動的半徑為，由幾何分析（粒子運動的軌跡如圖所示，、是粒子做圓周運動的圓心，Q、F、G、H是軌跡與兩坐標軸的交點，連接、，由幾何關系知，和均為矩形，進而知FQ、GH均為直徑，QFGH也是矩形，又FH⊥GQ，可知QFGH是正方形，△QOG為等腰直角三角形）可知，粒子在第一、第三象限的軌跡均為半圓，得             ⑿
粒子在第二、第四象限的軌跡為長度相等的線段，得           ⒀
設粒子相鄰兩次經過Q點所用的時間為t，則有           ⒁   
聯立⑦⑿⒀⒁得        ⒂
考點：本題考查帶電粒子在勻強電場中的類平拋運動和在勻強磁場中的勻速圓周運動。