Question

據報道，2007年10月24日18時05分04.602秒我國的“嫦娥一號”衛星成功發射升空！圓了中國人幾千年的夢想．我國整個探月工程分為“繞”、“落”、“回”3個階段，第一期繞月工程就是通過發射探月衛星“嫦娥一號”，對月球表面環境、地貌、地形、地質構造與物理場進行探測．設嫦娥一號對月球進行科學探測時離月球表面的高度為h，周期為T，月球的半徑為R，則
（1）月球的質量是多少？（用h、T、R表示）
（2）嫦娥探月計劃以后將從月球表面采集樣本送回地球，第一步是使月球登陸器離開月球表面繞月飛行，則能使登陸器離開月球表面所需的最小速度是多少？（用h、T、R表示）

Answer 1

分析：1、根據萬有引力提供向心力G

Mm

(R+h)2

=m(

2π

T

)2(R+h)，計算月球的質量M．
2、根據萬有引力提供向心力G

Mm0

R2

=

mv02

R

，結合計算出來的月球的質量M，化簡可得登陸器離開月球表面所需的最小速度．

解答：解：（1）設嫦娥一號的質量為m，月球的質量為M由萬有引力定律可知嫦娥一號受月球的萬有引力為
F萬=G

Mm

r2

=G

Mm

(R+h)2

嫦娥一號所需的向心力為：F向=mω2r=m(

2π

T

)2(R+h)
繞月飛行時萬有引力等于所需的向力F_萬=F_向
聯立解得M=

4π2(R+h)3

GT2

（2）設登陸器的質量為m₀，能使登陸器離開月球表面所需的最小速度為v
由萬有引力定律可知登陸器在月球表面受月球的萬有引力為
F萬′=G

Mm

r2

=G

Mm0

R2

登陸器有月球表面繞月飛行時所需的向心力為
F向′=

mv2

r

=

mv02

R

繞月飛行時萬有引力等于所需的向力F_萬′=F_向′
聯立解得v=

2π(R+h)

T

R+h R

答：（1）月球的質量是

4π2(R+h)3

GT2

；
（2）登陸器離開月球表面所需的最小速度是

2π(R+h)

T

R+h R

．

點評：解決本題的關鍵就是要掌握萬有引力提供向心力這一關系，同時要能根據題目的要求熟練選擇向心力的表達式．