Question

如圖所示，一輛質量為M的小車靜止在水平面上，車面上右端點有一可視為質點的滑塊1，水平面上有與車右端相距為4R的固定的

1

4

光滑圓弧軌道，其圓周半徑為R，圓周E處的切線是豎直的，車上表面與地面平行且與圓弧軌道的末端D等高，在圓弧軌道的最低點D處，有另一個可視為質點的滑塊2，兩滑塊質量均為m．某人由靜止開始推車，當車與圓弧軌道的豎直壁CD碰撞后人即撤去推力并離開小車，車碰后靠著豎直壁靜止但不粘連，滑塊1和滑塊2則發生碰撞，碰后兩滑塊牢牢粘在一起不再分離．車與地面的摩擦不計，滑塊1、2與車面的摩擦系數均為μ，重力加速度為g，滑塊與車面的最大靜摩擦力可認為等于滑動摩擦力．
（1）若人推車的力是水平方向且大小為F=

1

2

μ(M+m)g，則在人推車的過程中，滑塊1與車是否會發生相對運動？
（2）在（1）的條件下，滑塊1與滑塊2碰前瞬間，滑塊1的速度多大？
（3）若車面的長度為

R

4

，小車質量M=km，則k的取值在什么范圍內，兩個滑塊最終沒有滑離車面？

Answer 1

分析：（1）假設滑塊1與車不發生相對滑動，根據牛頓第二定律，分別對整體和滑塊1研究，求出滑塊受到的靜摩擦力大小，與最大靜摩擦力比較，判斷滑塊1與車是否會發生相對運動．
（2）若滑塊1與車沒有發生相對滑動，對整體，運用動能定理求出滑塊1與滑塊2碰撞前瞬間滑塊1的速度．兩滑塊碰撞過程，由動量守恒定律求出碰撞后共同的速度．
（3）兩滑塊粘合在一起后沖上光滑圓弧軌道，由于圓弧軌道的E處的切線是豎直的，則無論兩滑塊在圓弧軌道上運動，還是從E處豎直向上離開圓弧軌道，最后還是沿著圓弧軌道回到D處，整個過程中兩滑塊的機械能守恒，兩滑塊最終以原速率沖上車面．根據動量守恒和能量守恒結合求解兩個滑塊最終沒有滑離車面時的k．

解答：解：（1）設滑塊1與車不發生相對滑動，它們的加速度大小為a，由牛頓第二定律有：
F=（M+m）a…①
此時滑塊受到的靜摩擦力大小為：f=ma…②
而：F=

1

2

μ(M+m)g…③
由①②③解得：f=

1

2

μmg…④
又滑塊1與車面的最大靜摩擦力為：f_m=μmg…⑤
顯然f＜f_m，說明滑塊1與車面之間沒有發生相對滑動．
（2）設滑塊1與滑塊2碰撞前瞬間滑塊1的速度為v，根據動能定理有：
F?4R=

1

2

(M+m)v2…⑥
聯立③⑥求得：v=2

μgR

…⑦
設滑塊1和2發生碰撞后的共同速度為v₁，由動量守恒定律有：
mv=2mv₁ …⑧
聯立⑦⑧求得：v1=

μgR

…⑨
（3）兩滑塊粘合在一起后以v₁的速度沖上光滑圓弧軌道，由于圓弧軌道的E處的切線是豎直的，則無論兩滑塊在圓弧軌道上運動，還是從E處豎直向上離開圓弧軌道，最后還是沿著圓弧軌道回到D處，整個過程中兩滑塊的機械能守恒，兩滑塊最終以速度v₁沖上車面．
設兩滑塊滑到車的左端時，若滑塊剛好不滑出車面，滑塊和車應有共同的速度設為v₂，由系統的動量守恒有：
  2mv₁=（2m+km）v₂，⑩
由系統的能量守恒，有：μ2mg?

R

4

=

1

2

?2m

v

2 1

-

1

2

(2m+km)

v

2 2

…?
聯立⑨⑩?解得：k=2…?
所以當k≤2時，兩個滑塊最終沒有滑離小車．
答：
（1）若人推車的力是水平方向且大小為F=

1

2

μ(M+m)g，在人推車的過程中，滑塊1與車不會發生相對運動．
（2）在（1）的條件下，滑塊1與滑塊2碰前瞬間，滑塊1的速度是2

μgR

．
（3）若車面的長度為

R

4

，小車質量M=km，k的取值在k≤2時，兩個滑塊最終沒有滑離車面．

點評：本題過程較復雜，按程序法分析過程，確定每個過程遵循的物理規律是關鍵．特別是要挖掘隱含的臨界條件．在人推車的過程中，根據牛頓第二定律，運用整體法和隔離法求出滑塊1與車間的靜摩擦力，根據靜摩擦力與最大靜摩擦力的關系，確定滑塊1與車是否相對滑動．對于滑塊滑回車上后，當滑塊滑車的最右端，且速度與車的速度相等時，恰好沒有滑出車，根據動量守恒和能量守恒求出k，是本題解答的關鍵步驟．