兩圓外切的性質與應用
孫建洪
兩圓的位置關系有外離、外切、相交、內切、內含五種關系，當相切的兩個圓，除了切點外，每個圓上的點都各在另一個圓的外部時，我們稱這兩個圓外切。而且外切關系是兩圓位置關系中比較重要的一種關系，它具有的性質較多。
4 性質（1） 外切兩圓的連心線必經過它們的切點，且兩個圓心之間的距離d（圓心距）
等于兩個圓的半徑之和，即d=R+r
兩圓外切，其中任一個圓的過兩圓切點的切線，也必是另一個圓的切線，也就是說，
兩個圓心及切點這三點共線。
例1 若兩圓半徑分別為R，r(R＞r)，其圓心距為d,且 
，則兩圓的位置關系是__________.
解：因為
所以
所以
所以d=R+r(R+r=-d不合題意).
因此兩圓的位置關系是外切.
二、外切的兩圓，共有三條公切線，其中兩條是外公切線，一條是內公切線，內公切線過兩圓的切點且垂直于它們的連心線。
如圖1，半徑為r、R的⊙
⊙
外切，外公切線AB分別切⊙⊙于A、B，那么AB就是外公切線長。連
，由切線性質知
可證得四邊形ABCD為矩形，得
，
因此，
，
而在RtΔ
性質(2) 外公切線長等于
7 兩圓外切,經常添的輔助線是內公切線,因為內公切線可以產生兩圓相等的弦切角,可將兩圓的元素聯系起來.
性質(3) 添內公切線是解決兩圓外切問題的金鑰匙.
例2 已知如圖2, ⊙
⊙外切于點C,PA切⊙于點A,交⊙
于點P、D，直接PC交⊙于點B。
求證：AC平分∠BCD。
解：過C作⊙⊙的內公切線`MN交AP于M，所以∠MCD=∠P.
又PA切⊙于點A,
所以∠MAC=∠ACM,
所以∠ACB=∠P+∠MAC=∠MCD+∠MCA=∠DCA.
即AC平分∠BCD.
四.看下一例:如圖3, ⊙⊙外切于點P,AB為兩圓的外公切線,切點為A、B,求證
為直角三角形.
解:過P作內公切線交AB于E,由切線長定理知EB=EP,EP=EA,即EB=EP=EA,根據定理(在一個三角形中,一邊上的中線等于該邊的一半,那么這個三角形是直角三角形)知為直角三角形.
此題中AB為外公切線與兩圓的切點,P為兩圓切點.
我們習慣上把稱為切點三角形.
在關于兩圓外切關系的幾何證明題中,運用切點三角形來分析問題,解決問題,可以收到事半功倍的效果,它的應用在兩圓外切中尤為重要.
性質(4) 切點三角形是直角三角形.
例4(重慶市中考題)如圖4, ⊙⊙外切于點P,內公切線PC與外公切線AB(A、B分別是⊙⊙上的切點)相交于點C,已知⊙⊙的半徑分別為3、4,則PC的長等于________.
分析:由于AB為外公切線,由性質(2)知
又由性質(4)知
為直角在三角形且CP=CB=AC,故CP為斜邊AB上的中線,因此
例5.如圖5, ⊙⊙外切于點P,AB為兩圓的外公切線,切點為A、B,連心線
⊙于C,交⊙于D,CA與DB的延長線相交于Q,求證:
.
簡析：連AP、BP,由上題知∠APB=Rt∠,又∠CAP=∠PBD=Rt∠,故由四邊形內角和定理知∠Q=Rt∠,即
兩圓外切關系的這些性質,在解題時要靈活的應用.在例4、例5中的切點三角形并不是現成有的,而是添線構造出來的,難度稍大些,因此腦子中對切點三角形這些性質必須有深刻的印象,才能舉一反三,觸類旁通.
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