和平區2009屆高三第一次質量調查
數學（理）學科試卷
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共150分，考試時間120分鐘。第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至10頁。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事項：
1．答第Ⅰ卷前，考生務必將自己的姓名、準考號、科目涂寫在答題卡上。
2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再造涂其他答案標號。答在試卷上無效。
3．本卷共10小題，每小題5分，共50分。
一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
(1)復數
等于
(A)
(B)
(C)
(D)
(2)設變量
滿足約束條件
，則目標函數
的最小值為
(A)
(B)
(C)
(D)
(3)設集合
，則
(A)
(B)
(C)
(D)
(4)在等比數列
中，
，則
等于
(A)
(B)
(C)
(D)
(5)過點（
)作直線
與圓
交于A、B兩點，如果
,則直線的方程為
(A)
(B)
(C)或
(D)或
(6)如圖，在正四面體P-ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，下面四個結論不成立的是
(A)BC∥平面PDF (B)DF⊥平面PAE
(C)平面PDF⊥平面PAE (D)平面PDE⊥平面ABC
(7)已知函數
的最小正周期為
，則該函數的圖象
(A)關于直線
對稱 (B)關于點(
)對稱
(C)關于直線
對稱 (D)關于點(
)對稱
(8)
的值是
(A)
(B)
(C)
(D)
(9)如圖，F為拋物線
的焦點，A、B、C為該拋物線上三點，若
，則
等于
(A)6 (B)4
(C)3 (D)2
(10)已知
，且
，下列不等式成立的是
(A)
(B)
(C)
(D)
第Ⅱ卷
注意事項：
1．答卷前將密封線內的項目填寫清楚。
2．用鋼筆或圓珠筆直接答在試卷上。
3．本卷共12小題，共100分。
題號
二
三
總分
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
得分
得分
評卷人
二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分．把答案填在題中橫線上．
(11)某校有教師200人，男學生1200人，女學生1000人，現用分層抽樣的方法從所有師生中抽取―個容量為
的樣本，已知從女生中抽取的人數為80，則等于
?
(12)在如右圖所示的程序框圖中，當程序被執行后，輸出
的結果是 ___
(13)在
的展開式中，
的系數是
（用數字作答）．
(14)已知△ABC的三邊長分別為AB=7，BC=5，CA=6,則
的值為
?
(15)有5名男生和3名女生，從中選出5人分別擔任語文、數學、英語、物理、化學學科的科代表，若某女生必須擔任語文科代表，則不同的選法共有 種（用數字作答）．
(16)如圖，圓O是△ABC的外接圓，過點C作圓O的切線，交AB的延長線于點D．若
，AB=BC=3，則BD的長為
；AC的長為
．
得分
評卷人
(17)(本小題滿分12分)
三、解答題：本大題共6小題，共76分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
在△ABC中，
，
．
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）設
，求
．
得分
評卷人
(18)(本小題滿分12分)
在4名男生和3名女生中挑選3人參加志愿者服務活動，
(Ⅰ)求至多選中1名女生的概率；
(Ⅱ)記女生被選中的人數為隨機變量
，求的分布列和數學期望．
得分
評卷人
(19)(本小題滿分12分)
如圖，正四棱錐P
ABCD的底面邊長與側棱長都是2，點O為底面ABCD的中心，M為PC的中點．
(Ⅰ)求異面直線BM和AD所成角的大小；
(Ⅱ)求二面角MPBD的余弦值．
得分
評卷人
(20)(本小題滿分12分)
已知等差數列的前三項為
記前項和為
．
(Ⅰ)設
，求
和
的值；
(Ⅱ)設
，求
的值．
得分
評卷人
(21)(本小題滿分14分)
設A、B分別為橢圓
的左、右頂點，(
)為橢圓上一點，橢圓的長半軸的長等于焦距．
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)設
，若直線AP，BP分別與橢圓相交于異于A、B的點M、N，證明在以MN為直徑的圓內．
得分
評卷人
(22)(本小題滿分14分)
已知函數
(Ⅰ)求
的值域；
(Ⅱ)設
，函數
．若對任意
，總存在
，使
，求實數的取值范圍．
一、選擇題(每小題5分，共50分)
1．B 2．C 3．A 4．D 5．C 6．D 7．B 8．C 9．A 10．D
二、填空題(每小題4分，共24分)
l 1．192 12．286 13．
14．
15．
三、解答題(本大題共6小題，共76分)
17．(本題12分)
解：（Ⅰ）
………………………………（2分）
…………（4分）
…………………………………(6分)
(Ⅱ)
．
……………(8分)
由已知條件
根據正弦定理，得
…………………（10分）
……………………（12分）
18．(本題12分)
解：(Ⅰ)在7人中選出3人，總的結果數是
種
………………(2分)
記“被選中的3人中至多有1名女生”為事件A，則A包含兩種情形：
①被選中的是1名女生，2名男生的結果數是
種，
②被選中的是3名男生的結果數是
種，
………………(4分)
至多選中1名女生的概率為
． ……………(6分)
(Ⅱ)由題意知隨機變量
可能的取值為：0，1，2，3，則有
……………………（8分）
的分布列
0
1
2
3
P
……………（10分）
的數學期望
…
……(12分)
19.(本題12分)
解：(Ⅰ)連接
，以
所在的直線為
軸，
軸，
軸
建立如圖所示的空間直角坐標系． …………………………………（2分)
正四棱錐的底面邊長和側棱長都是2，
．
．
為
的中點．
…………（4分）
．
即異面直線
和
所成的角為
………(6分)
(Ⅱ)
．
是平面
的一個法向量． ……………………………（8分）
由（Ⅰ）得
．
設平面
的一個法向量為
，
則由
，得
．
，不妨設
，
得平面的一個法向量為
．
………………（10分）
．
二面角
小于
，
二面角的余弦值為
．
………………（12分）
20.(本題12分)
解：(Ⅰ)由已知得
，又
，
即
． …………………………（2分）
，公差
．
由
，得 …………………………（4分）
即
．解得
或
(舍去)．
．
…………………………（6分）
(Ⅱ)由
得
…………………………（8分）
…………………………（9分）
是等差數列．
則
………………………(11分)
……………………(12分)
21．(本題14分)
解：(Ⅰ)依題意得
．
………………………（2分）
把（1，3）代入．
解得
．
橢圓的方程為
．
………………………（4分）
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
，設
，如圖所示
點在橢圓上，
． ①
點異于頂點
、
，
．
由
、、三點共線，可得
從而
…………………………（7分）
② …………（8分）
將①式代入②式化簡得
…………（10分）
…………（12分）
于是
為銳角，
為鈍角．
點B在以MN為直徑的圓內． ……………(14分)
22.（本題14分)
解：（Ⅰ）
，
令
，得
或
．
………………（2分）
當
時，
在
上單調遞
當
時，
在
上單調遞減，
而
，
當
時，
的值域是
． ……………（4分）
(Ⅱ)設函數
在
上的值域是A，
若對任意
．總存在
1,使
，
．
……………（6分）
．
①當
時，
，
函數在
上單調遞減．
，
當時，不滿足
； ……………………(8分)
②當
時，
，
令
，得
或
(舍去 ………………(9分)
（i）
時，
的變化如下表：
0
2
-
0
+
0
．
，解得
． …………………(11分)
(ii)當
時，
函數在上單調遞減．
，
當時，不滿足．
…………………(13分)
綜上可知，實數
的取值范圍是
． ……………………（14分）
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