上海冠龍高級中學2009年2月高三數學考試卷
本卷滿分120分,考試時間90分鐘
一、填空題(每小題4分,滿分48分)
1. 已知復數z滿足（
＋3i）z＝3i，則z＝
2. 已知
3. 已知數列
是等差數列，且
則數列的公差d=
4. 函數
(
) 的反函數為
5. 已知
的展開式中
項的系數為9，則常數
的值為
6. 已知向量
=(4, 0)，
=(2, 2)，則與
的夾角的大小為
7. 湖面上浮著一個球，湖水結冰后將球取出，冰上留下一個直徑為
8. 從1、2、3、4中任取兩個不同的數字構成一個兩位數， 則這個兩位數大于20的概率為
9. 以C（
）為圓心，并且和直線
相切的圓的方程是
10. 執行下邊的程序框圖1，若p＝0.8，則輸出的n＝ .
11. 若
，則稱直線
是曲線
當
時的漸近線 . 由此可知，曲線
當時的漸近線方程為_____________
12. 已知函數
,對任意實數
滿足
,且
,則
的最大值為
二、選擇題(每小題4分,滿分16分)
13. 下列函數中值域是
的函數是
( )
A．
B．
C．
D．
14. ax+2x－1=0至少有一個正的實根的充要條件是 （ ）
A，
B，
C，
D， 
15. 設
表示三條直線，
表示兩個平面，則下列命題中不正確的是
( )
A
B 
C 
D 
16. 函數
在區間
上有最小值-2，則實數a的值為
（ ）
A．2
B．
C．－2 D．4
三、解答題(滿分56分)
17. (10分)已知函數y=sin4x+2
sinxcosx-cos4x
(1)將函數化成y=Asin(
) (
)的形式,并寫出最小正周期;
(2)當x∈[0,
]時,求函數y的值域.
18. (10分)在棱長為a的正方體ABCD―A′B′C′D′中,E、F分別是BC、A′D′的中點
(1)求直線A′C與DE所成的角；
(2)求直線AD與平面B′EDF所成的角；
19. (12分)已知：等差數列{an}中，a3 + a4
= 15，a
（1）求數列{an}的通項公式an；
（2）求
的最大值及相應的n的值.
20 . (12分) 已知函數
，且
（1）求
的值；
（2）試判斷是否存在正數
，使函數
在區間
上的值域為
.若存在，求出這個的值；若不存在，說明理由.
21. (12分)已知圓
上的動點，點Q在NP上，點G在MP上，且滿足
.
（1）求點G的軌跡C的方程；
（2）過點（2，0）作直線
，與曲線C交于A、B兩點，O是坐標原點，設
是否存在這樣的直線，使四邊形OASB的對角線相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直線的方程；若不存在，試說明理由.
1. 
2. 1 3. 4 4. 
5. 1, 6. 90° 7. 13
8. 
9. 
10. 4
11. y=2x 12. 9
13. D 14. B 15. D 16. C
17. 解： (1)y=2sin(2x-
), 
(2)
……
∴函數y的值域為[-1,2]
……………
18. (1)解
如圖所示，在平面ABCD內，過C作CP∥DE，交直線AD于P，則∠A′CP(或補角)為異面直線A′C與DE所成的角
在△A′CP中，
易得A′C=
a，CP=DE=
a,A′P=
a
由余弦定理得cosA′CP=
故A′C與DE所成角為arccos
另法（向量法） 如圖建立坐標系，則
故A′C與DE所成角為arccos
(2)解 ∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF內的射影在∠EDF的平分線上 如下圖所示
又∵B′EDF為菱形，∴DB′為∠EDF的平分線，
故直線AD與平面B′EDF所成的角為∠ADB′
在Rt△B′AD中，AD=
a，AB′=a,B′D=a
則cosADB′=
故AD與平面B′EDF所成的角是arccos
另法（向量法）
∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF內的射影在∠EDF的平分線上 如下圖所示
又∵B′EDF為菱形，∴DB′為∠EDF的平分線，
故直線AD與平面B′EDF所成的角為∠ADB′，
如圖建立坐標系，則
，
故AD與平面B′EDF所成的角是arccos
19. （1）解
為等差數列，
……………………………………………………2分
解得
……………………………4分
………………………………………………………………5分
……………………………………………………………6分
（2）
………………………………………………6分
…………8分
因
，知
上單減，在
上單增，
又
，
而
…………………………………………10分
∴當n =
5時，
取最大值為
………………12分
20. 解：（1）∵
，∴
，即
，
∵
，∴
（2）
， 
當
，
即
時，
當
時，∵
，∴這樣的
不存在。
當
，即
時，
，這樣的不存在。
綜上得，
.
21. 解：（1）
Q為PN的中點且GQ⊥PN
GQ為PN的中垂線|PG|=|GN|
∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G點的軌跡是以M、N為焦點的橢圓，其長半軸長
，半焦距
，∴短半軸長b=2，∴點G的軌跡方程是
（2）因為
，所以四邊形OASB為平行四邊形
若存在l使得|
|=|
|，則四邊形OASB為矩形
若l的斜率不存在，直線l的方程為x=2，由
矛盾，故l的斜率存在.
設l的方程為
①
②
把①、②代入
∴存在直線
使得四邊形OASB的對角線相等.
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