2008年普通高等學校招生全國統一考試（天津卷）
數學（文史類）
本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘．第I卷至2頁，第II卷3至10頁．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．
祝各位考生考試順利！
第I卷
注意事項：
1．答第I卷前，考生務必將自己的姓名、準考號、科目涂寫在答題卡上，并在規定位置粘貼考試用條形碼．
2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．答在試卷上的無效．
3．本卷共10小題，每小題5分，共50分．
參考公式：
?如果事件互斥，那么 ?球的表面積公式
球的體積公式
?如果事件相互獨立，那么 其中表示球的半徑
一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．設集合，，，則（ ）
A． B． C． D．
2．設變量滿足約束條件則目標函數的最大值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．函數的反函數是（ ）
A． B．
C． D．
4．若等差數列的前5項和，且，則（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
5．設是兩條直線，是兩個平面，則的一個充分條件是（ ）
A． B．
C． D．
6．把函數的圖象上所有的點向左平行移動個單位長度，再把所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到的圖象所表示的函數是（ ）
A． B．
C． D．
7．設橢圓的右焦點與拋物線的焦點相同，離心率為，則此橢圓的方程為（ ）
A． B． C． D．
8．已知函數則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
9．設，，，則（ ）
A． B． C． D．
10．設，若對于任意的，都有滿足方程，這時的取值的集合為（ ）
A． B． C． D．
2008年普通高等學校招生全國統一考試（天津卷）
數學（文史類）
第Ⅱ卷
注意事項：
1．答卷前將密封線內的項目填寫清楚．
2．用鋼筆或圓珠筆直接答在試卷上．
3．本卷共12小題，共100分．
二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分．把答案填在題中橫線上．
11．一個單位共有職工200人，其中不超過45歲的有120人，超過45歲的有80人．為了調查職工的健康狀況，用分層抽樣的方法從全體職工中抽取一個容量為25的樣本，應抽取超過45歲的職工 人．
12．的二項展開式中的系數為 （用數字作答）．
13．若一個球的體積為，則它的表面積為 ．
14．已知平面向量，，若，則 ．
15．已知圓的圓心與點關于直線對稱．直線與圓相交于兩點，且，則圓的方程為 ．
16．有4張分別標有數字1，2，3，4的紅色卡片和4張分別標有數字1，2，3，4的藍色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行．如果取出的4張卡片所標的數字之和等于10，則不同的排法共有 種（用數字作答）．
三、解答題：本大題共6小題，共76分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分12分）
已知函數的最小正周期是．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函數的最大值，并且求使取得最大值的的集合．
18．（本小題滿分12分）
甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與，且乙投球2次均未命中的概率為．
（Ⅰ）求乙投球的命中率；
（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；
（Ⅲ）若甲、乙兩人各投球2次，求兩人共命中2次的概率．
19．（本小題滿分12分）
（Ⅰ）證明平面；
（Ⅱ）求異面直線與所成的角的大小；
（Ⅲ）求二面角的大小．
20．（本小題滿分12分）
已知數列中，，，且．
（Ⅰ）設，證明是等比數列；
（Ⅱ）求數列的通項公式；
（Ⅲ）若是與的等差中項，求的值，并證明：對任意的，是與的等差中項．
21．（本小題滿分14分）
設函數，其中．
（Ⅰ）當時，討論函數的單調性；
（Ⅱ）若函數僅在處有極值，求的取值范圍；
（Ⅲ）若對于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍．
22．（本小題滿分14分）
已知中心在原點的雙曲線的一個焦點是，一條漸近線的方程是．
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）若以為斜率的直線與雙曲線相交于兩個不同的點，且線段的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，求的取值范圍．
2008年普通高等學校招生全國統一考試（天津卷）
數學（文史類）參考解答
一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算．每小題5分，滿分50分．
1．A 2．D 3．A 4．B 5．C 6．C 7．B 8．A 9．D 10．B
二、填空題：本題考查基本知識和基本運算．每小題4分，滿分24分．
11．10 12．10 13． 14．
15． 16．432
（1）設集合，，，則
（A） （B） （C） （D）
解析：因為，所以，選A．
（2）設變量滿足約束條件，則目標函數的最大值為
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
解析：如圖，由圖象可知目標函數過點時取得最大值，，選D．
（3）函數（）的反函數是
（A）（） （B）（）
（C）（） （D）（）
解析：當時，，解得，選A．
（4）若等差數列的前5項和，且，則
（A）12 （B）13 （C）14 （D）15
解析：，所以，選B．
（5）設是兩條直線，是兩個平面，則的一個充分條件是
（A） （B）
（C） （D）
解析：選C，A、B、D的反例如圖．
（6）把函數（）的圖象上所有點向左平行移動個單位長度，再把所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到的圖象所表示的函數是
（A）， （B），
（C）， （D），
解析：選C,
．
（7）設橢圓（，）的右焦點與拋物線的焦點相同，離心率為，則此橢圓的方程為
（A） （B） （C） （D）
解析：拋物線的焦點為，橢圓焦點在軸上，排除A、C，由排除D，選B．
（8）已知函數，則不等式的解集是
（A） （B） （C） （D）
解析：依題意得，選A．
（9）設，，，則
（A） （B） （C） （D）
解析：，因為，所以，選D．
（10）設，若對于任意的，都有滿足方程，這時的取值集合為
（A） （B） （C） （D）
解析：易得，在上單調遞減，所以，故，選B．
（11）一個單位共有職工200人，其中不超過45歲的有120人，超過45歲的有80人．為了調查職工的健康狀況，用分層抽樣的方法從全體職工中抽取一個容量為25的樣本，應抽取超過45歲的職工________________人．
解析：依題意知抽取超過45歲的職工為．
（12）的二項展開式中，的系數是________________（用數字作答）．
解析：，，所以系數為10．
（13）若一個球的體積為，則它的表面積為________________．
解析：由得，所以．
（14）已知平面向量，．若，則_____________．
解析：因為，所以．
（15）已知圓C的圓心與點關于直線對稱．直線與圓C相交于兩點，且，則圓C的方程為_______________________．
解析：圓心的坐標為，所以，圓的方程為．
（16）有4張分別標有數字1，2，3，4的紅色卡片和4張分別標有數字1，2，3，4的藍色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行．如果取出的4張卡片所標數字之和等于10，則不同的排法共有________________種（用數字作答）．
解析：數字之和為10的情況有4，4，1，1、 4，3，2，1、 3，3，2，2．
所以共有種不同排法．
三、解答題
17．本小題主要考查特殊角三角函數值、兩角和的正弦、二倍角的正弦和余弦、函數的性質等基礎知識，考查基本運算能力．滿分12分．
（Ⅰ）解：
．
由題設，函數的最小正周期是，可得，所以．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，．
當，即時，取得最大值1，所以函數的最大值是，此時的集合為．
18．本小題主要考查隨機事件、互斥事件、相互獨立事件等概率的基礎知識，考查運用概率知識解決實際問題的能力．滿分12分．
（Ⅰ）解法一：設“甲投球一次命中”為事件，“乙投球一次命中”為事件，由題意得
，
解得或（舍去），所以乙投球的命中率為．
解法二：設“甲投球一次命中”為事件，“乙投球一次命中”為事件，由題意得
，
于是或（舍去），故．
所以乙投球的命中率為．
（Ⅱ）解法一：由題設和（Ⅰ）知，，．
故甲投球2次至少命中1次的概率為．
解法二：由題設和（Ⅰ）知，，．
故甲投球2次至少命中1次的概率為．
（Ⅲ）解：由題設和（Ⅰ）知，，，，．
甲、乙兩人各投球2次，共命中2次有三種情況：甲、乙兩人各中一次；甲中2次，乙2次均不中；甲2次均不中，乙中2次．概率分別為
，
，
．
所以甲、乙兩人各投球2次，共命中2次的概率為
．
19．本小題主要考查直線和平面垂直、異面直線所成的角、二面角等基礎知識，考查空間相角能力、運算能力和推理論證能力．滿分12分．
（Ⅰ）證明：在中，由題設，，，可得，于是．在矩形中，，又，所以平面．
（Ⅱ）解：由題設，，所以（或其補角）是異面直線與所成的角．
在中，由余弦定理得
由（Ⅰ）知平面，平面，
所以，因而，于是是直角三角形，
故．
所以異面直線與所成的角的大小為．
（Ⅲ）解：過點作于，過點作于，連結．
因為平面，平面，所以．又，因而平面，故為在平面內的射影．由三垂線定理可知，．從而是二面角的平面角．
由題設可得，
，，
，，
．
于是在中，．
所以二面角的大小為．
20．本小題主要考查等差數列、等比數列的概念、等比數列的通項公式及前項和公式，考查運算能力和推理論證能力及分類討論的思想方法．滿分12分．
（Ⅰ）證明：由題設，得
，
即
．
又，，所以是首項為1，公比為的等比數列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），
，
，
……
．
將以上各式相加，得．所以當時，
上式對顯然成立．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ），當時，顯然不是與的等差中項，故．
由可得，由得
， ①
整理得，解得或（舍去）．于是
．
另一方面，
，
．
由①可得
．
所以對任意的，是與的等差中項．
21．本小題主要考查利用導數研究函數的單調性和極值、函數的最大值、解不等式等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力．滿分14分．
（Ⅰ）解：．
當時，
．
令，解得，，．
當變化時，，的變化情況如下表：
ㄋ
極小值
ㄊ
極大值
ㄋ
極小值
ㄊ
所以在，內是增函數，在，內是減函數．
（Ⅱ）解：，顯然不是方程的根．
為使僅在處有極值，必須恒成立，即有．
解此不等式，得．這時，是唯一極值．
因此滿足條件的的取值范圍是．
（Ⅲ）解：由條件可知，從而恒成立．
當時，；當時，．
因此函數在上的最大值是與兩者中的較大者．
為使對任意的，不等式在上恒成立，當且僅當
即
在上恒成立．
所以，因此滿足條件的的取值范圍是．
22．本小題主要考查雙曲線的標準方程和幾何性質、直線方程、兩條直線垂直、線段的定比分點等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算能力．滿分14分．
（Ⅰ）解：設雙曲線的方程為，由題設得
解得
所以雙曲線的方程為．
（Ⅱ）解：設直線的方程為，點，的坐標滿足方程組
將①式代入②式，得，整理得
．
此方程有兩個不等實根，于是，且
．整理得
． ③
由根與系數的關系可知線段的中點坐標滿足
，．
從而線段的垂直平分線的方程為
．
此直線與軸，軸的交點坐標分別為，．由題設可得
．
整理得
，．
將上式代入③式得，
整理得
，．
解得或．
所以的取值范圍是．
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