絕密★啟用前
2006年普通高等學校招生全國統一考試（湖南卷）
數學（理工農醫類）
數學試卷(理工農醫類)
注意事項：
1. 答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題紙上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。
2. 每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，答在試題卷上無效。
3. 考試結束后，監考人員將本試題卷和答題卡一并收回。
一、選擇題:本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1. 函數的定義域是
A． B． C． D．
2. 若數列滿足: , 且對任意正整數都有, 則
A． B． C． D．
3. 過平行六面體任意兩條棱的中點作直線, 其中與平面平行的直線共有
A．4條 B．6條 C．8條 D．12條
4. “”是“函數在區間上為增函數”的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
5. 已知 且關于的方程有實根, 則與的夾角的取值范圍是
A． B． C． D．
6. 某外商計劃在4個候選城市投資3個不同的項目, 且在同一個城市投資的項目不超過2個, 則該外商不同的投資方案有
A． 16種 B．36種 C．42種 D．60種
7. 過雙曲線的左頂點作斜率為1的直線, 若與雙曲線的兩條漸近線分別相交于點, 且, 則雙曲線的離心率是
A． B． C． D．
8. 設函數, 集合, 若,
則實數的取值范圍是
A． B． C． D．
9. 棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上, 若過該球球心的一個截面如圖1,
則圖中三角形(正四面體的截面)的面積是
A． B． C． D．
10. 若圓上至少有三個不同的點到直線的
距離為,則直線的傾斜角的取值范圍是
A． B． C． D．
注意事項：
請用0.5毫米黑色的簽字筆直接答在答題卡上。答在試題卷上無效。
二、填空題：本大題共5小題，每小題4分(第15小題每空2分)，共20分. 把答案填在答題卡中對應題號后的橫線上。
11. 若的展開式中的系數是, 則實數的值是__________.
12. 已知 則的最小值是_____________.
13. 曲線和在它們的交點處的兩條切線與軸所圍成的三角形的面積是
___________.
14. 若是偶函數, 則有序實數對可以
是__________.(注: 寫出你認為正確的一組數字即可)
15. 如圖2, , 點在由射線, 線段及的延長線圍成的區域內
(不含邊界)運動, 且,則的取值范圍是__________; 當時, 的取值范圍是__________.
三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16. （本小題滿分12分）
如圖3, 是直角斜邊上一點, .
(Ⅰ)證明: ; (Ⅱ)若,求的值.
17. （本小題滿分12分）
某安全生產監督部門對5家小型煤礦進行安全檢查(簡稱安檢), 若安檢不合格, 則必須整改. 若整改后經復查仍不合格, 則強制關閉. 設每家煤礦安檢是否合格是相互獨立的, 且每家煤礦整改前合格的概率是, 整改后安檢合格的概率是,
計算(結果精確到);
(Ⅰ) 恰好有兩家煤礦必須整改的概率;
(Ⅱ) 平均有多少家煤礦必須整改;
(Ⅲ) 至少關閉一家煤礦的概率 .
18. （本小題滿分14分）
如圖4, 已知兩個正四棱錐的高分別為1和2,
(Ⅰ) 證明: ; (Ⅱ) 求異面直線所成的角;
(Ⅲ) 求點到平面的距離.
19．（本小題滿分14分）
已知函數, 數列滿足: ,
證明 (Ⅰ) ; (Ⅱ) .
20．（本小題滿分14分）
對1個單位質量的含污物體進行清洗, 清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為:
為, 要求清洗完后的清潔度為. 有兩種方案可供選擇, 方案甲: 一次清洗; 方案乙: 分兩次清洗. 該物體初次清洗后受殘留水等因素影響, 其質量變為. 設用單位質量的水初次清洗后的清潔度是, 用單位質量的水第二次清洗后的清潔度是,
其中是該物體初次清洗后的清潔度.
(Ⅰ)分別求出方案甲以及時方案乙的用水量, 并比較哪一種方案用水量較少;
(Ⅱ)若采用方案乙, 當為某固定值時, 如何安排初次與第二次清洗的用水量, 使總用水量最小? 并討論取不同數值時對最少總用水量多少的影響.
21．（本小題滿分14分）
已知橢圓, 拋物線, 且的公共弦
過橢圓的右焦點 .
(Ⅰ) 當, 求的值, 并判斷拋物線的焦點是否在直線上;
(Ⅱ) 是否存在的值, 使拋物線的焦點恰在直線上? 若存在, 求出符合條件的的值; 若不存在, 請說明理由 .
答案： DADAB DACCB
[1]1. [1]2. 5 [1]3. [1]4. 15. ，
1．函數的定義域是，解得x≥4，選D.
2．數列滿足: , 且對任意正整數都有，，∴數列是首項為，公比為的等比數列。，選A.
3．如圖，過平行六面體任意兩條棱的中點作直線, 其中與平面平行的直線共有12條，選D.
4．若“”，則函數=在區間上為增函數；而若在區間上為增函數，則0≤a≤1，所以“”是“函數在區間上為增函數”的充分不必要條件，選A.
5． 且關于的方程有實根，則，設向量的夾角為θ，cosθ=≤，∴θ∈，選B.
6．某外商計劃在4個候選城市投資3個不同的項目, 且在同一個城市投資的項目不超過2個，則有兩種情況，一是在兩個城市分別投資1個項目、2個項目，此時有種方案，二是在三個城市各投資1個項目，有種方案，共計有60種方案，選D.
7．過雙曲線的左頂點(1，0)作斜率為1的直線：y=x－1, 若與雙曲線的兩條漸近線分別相交于點, 聯立方程組代入消元得，∴ ，x1+x2=2x1x2，又,則B為AC中點，2x1=1+x2，代入解得，∴ b2=9，雙曲線的離心率e=，選A.
8．設函數, 集合，若a>1時，M={x| 1<x<a}；若a<1時M={x| a<x<1}，a=1時，M=；，∴=>0，∴ a>1時，P=R，a<1時，P=； 已知,所以選C.
9．棱長為2的正四面體ABCD 的四個頂點都在同一個球面上, 若過該球球心的一個截面如圖為△ABF，則圖中AB=2，E為AB中點，則EF⊥DC，在△DCE中，DE=EC=，DC=2，∴EF=，∴三角形ABF的面積是，選C.
10．圓整理為，∴圓心坐標為(2，2)，半徑為3，要求圓上至少有三個不同的點到直線的距離為，則圓心到直線的距離應小于等于，
∴ ，∴ ，∴ ，，∴ ，直線的傾斜角的取值范圍是，選B.
二．填空題：
11． 12．5 13． 14． 15．，
11．的展開式中的系數=x3， 則實數的值是－2.
12．已知，如圖畫出可行域，得交點A(1，2)，B(3，4)，則的最小值是5.
13．曲線和在它們的交點坐標是(1，1)，兩條切線方程分別是y=－x+2和y=2x－1，它們與軸所圍成的三角形的面積是.
14．ab≠0，是偶函數，只要a+b=0即可，可以取a=1，b=－1.
15．如圖, , 點在由射線, 線段及的延長線圍成的區域內 (不含邊界)運動, 且，由向量加法的平行四邊形法則，OP為平行四邊形的對角線，該四邊形應是以OB和OA的反向延長線為兩鄰邊，∴ 的取值范圍是(－∞，0)；
當時，要使P點落在指定區域內，即P點應落在DE上，CD=OB，CE=OB，∴ 的取值范圍是(，).
文字說明，證明過程或演算步驟。
三、解答題：本大題共6個小題，共80分，解答應寫出
16.（本小題滿分12分）
記∠CAD=,∠ABC=.
(1)．證明 ;
（2）．若AC=DC,求的值.
解：(1)．如圖3，，
即．
（2）．在中，由正弦定理得
由(1)得，
即．
17.（本小題滿分12分）某安全生產監督部門對5家小型煤礦進行安全檢查(簡稱安檢).若安檢不合格,則必須進行整改.若整改后經復查仍不合格,則強行關閉.設每家煤礦安檢是否合格是相互獨立的,且每家煤礦整改前安檢合格的概率是0.5, 整改后安檢合格的概率是0.8,計算(結果精確到0.01):
(Ⅰ)恰好有兩家煤礦必須整改的概率;
(Ⅱ)平均有多少家煤礦必須整改;
(Ⅲ)至少關閉一家煤礦的概率.
解：（Ⅰ）．每家煤礦必須整改的概率是1－0.5，且每家煤礦是否整改是相互獨立的.
所以恰好有兩家煤礦必須整改的概率是
.
（Ⅱ）．由題設，必須整改的煤礦數服從二項分布B(5,0.5).從而的數學期望是
E＝，即平均有2.50家煤礦必須整改.
(Ⅲ)．某煤礦被關閉，即該煤礦第一次安檢不合格，整改后經復查仍不合格，所以該煤礦被關閉的概率是，從而該煤礦不被關閉的概率是0.9.由題意，每家煤礦是否被關閉是相互獨立的，所以至少關閉一家煤礦的概率是
18. （本小題滿分14分）如圖4,已知兩個正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高分別為1
和2,AB=4. (Ⅰ)證明PQ⊥平面ABCD; (Ⅱ)求異面直線AQ與PB所成的角;
(Ⅲ)求點P到平面QAD的距離.
解法一： （Ⅰ）．連結AC、BD，設.由P－ABCD與Q－ABCD
都是正四棱錐，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.
從而P、O、Q三點在一條直線上，所以PQ⊥平面ABCD.
（II）由題設知，ABCD是正方形，所以．由（I），平面，故可以分別以直線CA、DB、QP為軸，軸，軸建立空間直角坐標系（如上圖），由題設條件，相關各點的坐標分別是，，
所以,,于是
從而異面直線AQ與PB所成的角是.
(Ⅲ)．由（Ⅱ），點D的坐標是（0，－，0），，
，設是平面QAD的一個法向量，
由 得.
取x=1，得. 所以點P到平面QAD的距離.
解法二： （Ⅰ）．取AD的中點M，連結PM，QM.因為P－ABCD與Q－ABCD
都是正四棱錐，所以AD⊥PM，AD⊥QM. 從而AD⊥平面PQM.
又平面PQM，所以PQ⊥AD.同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD.
（Ⅱ）．連結AC、BD設，由PQ⊥平面ABCD及正四棱錐的性質可知O在
PQ上，從而P、A、Q、C四點共面.
取OC的中點N，連結PN．
從而AQ∥PＮ.∠BPＮ（或其補角）是異面直線AQ
與PB所成的角.連接BN，
因為．
所以．
從而異面直線AQ與PB所成的角是．
(Ⅲ)．由（Ⅰ）知，AD⊥平面PＱM，所以平面PＱM⊥平面QAD. 過Ｐ作ＰＨ⊥ＱＭ
于Ｈ，則ＰＨ⊥平面QAD，所以ＰＨ的長為點P到平面QAD的距離．
連結OM，則.所以，
又ＰＱ＝ＰＯ＋ＱＯ＝３，于是.
即點P到平面QAD的距離是.
19. （本小題滿分14分）已知函數,
數列{}滿足:
證明: （I）．;
（II）．.
證明: （I）．先用數學歸納法證明，ｎ＝1,2,3,…
(i).當n=1時,由已知顯然結論成立.
(ii).假設當n=k時結論成立,即.因為0<x<1時
,所以f(x)在(0,1)上是增函數. 又f(x)在[0,1]上連續,
從而.故n=k+1時,結論成立.
由(i)、(ii)可知，對一切正整數都成立.
又因為時，，
所以，綜上所述．
（II）．設函數，．由（I）知，當時，，
從而
所以g (x)在(0,1)上是增函數. 又g (x)在[0,1]上連續,且g (0)=0,
所以當時，g (x)>0成立.于是．
故．
20. （本小題滿分14分）對1個單位質量的含污物體進行清洗,清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為:)為0.8,要求洗完后的清潔度是0.99.有兩種方案可供選擇,方案甲:一次清洗;方案乙:兩次清洗.該物體初次清洗后受殘留水等因素影響,其質量變為(1≤a≤3).設用單位質量的水初次清洗后的清潔度是(),用質量的水第二次清洗后的清潔度是,其中是該物體初次清洗后的清潔度.
(Ⅰ)分別求出方案甲以及時方案乙的用水量,并比較哪一種方案用水量較少;
(Ⅱ)若采用方案乙,當為某定值時,如何安排初次與第二次清洗的用水量,使總用水量最少?并討論取不同數值時對最少總用水量多少的影響.
解：(Ⅰ)設方案甲與方案乙的用水量分別為x與z,由題設有=0.99,解得x=19.
由得方案乙初次用水量為3, 第二次用水量y滿足方程:
解得y=4,故z=4+3.即兩種方案的用水量分別為19與4+3.
因為當,故方案乙的用水量較少.
（II）設初次與第二次清洗的用水量分別為與，類似（I）得
，（*）
于是+
當為定值時,,
當且僅當時等號成立.此時
將代入（*）式得
故時總用水量最少, 此時第一次與第二次用水量分別為
, 最少總用水量是.
當,故T()是增函數(也可以用二次函數的單調性判斷).這說明,隨著的值的最少總用水量, 最少總用水量最少總用水量.
21. （本小題滿分14分）已知橢圓C1:,拋物線C2:,
且C1、C2的公共弦AB過橢圓C1的右焦點.
(Ⅰ)當AB⊥軸時,求、的值，并判斷拋物線C2的焦點是否在直線AB上；
(Ⅱ)是否存在、的值，使拋物線C2的焦點恰在直線AB上？若存在，
求出符合條件的、的值；若不存在，請說明理由.
解：（Ⅰ）當AB⊥x軸時，點A、B關于x軸對稱，所以m＝0，直線AB的方程為：
x =1，從而點A的坐標為（1，）或（1，－）. 因為點A在拋物線上.
所以，即.此時C2的焦點坐標為（，0），該焦點不在直線AB上.
（II）解法一： 假設存在、的值使的焦點恰在直線AB上，由（I）知直線AB
的斜率存在，故可設直線AB的方程為．
設A、B的坐標分別為（x1,y1）, （x2,y2）,
則x1,x2是方程①的兩根，x1＋x2＝.
由
消去y得. ………………②
因為C2的焦點在直線上，
所以，即.代入②有.
即. …………………③
由于x1,x2也是方程③的兩根，所以x1＋x2＝.
從而＝. 解得 ……………………④
又AB過C1、、＼、、C2的焦點，所以
，
則 …………………………………⑤
由④、⑤式得，即．
解得于是
因為C2的焦點在直線上，所以.
或．
由上知，滿足條件的、存在，且或，．
解法二： 設A、B的坐標分別為，．
因為AB既過C1的右焦點，又過C2的焦點，
所以.
即. ……①
由（Ⅰ）知，于是直線AB的斜率， ……②
且直線AB的方程是,
所以. ……③
又因為，所以. ……④
將①、②、③代入④得． ……………⑤
因為，所以． …………⑥
將②、③代入⑥得 ……………⑦
由⑤、⑦得即
解得．將代入⑤得
或．
由上知，滿足條件的、存在，且或，
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