炎德?英才大聯考高三月考試卷(八)
文 科 數 學
湖南師大附中高三數學備課組組稿
命題人：彭萍 審題人：曾克平
時量：120分鐘 滿分：150分
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將所選答案填在答題卡對應位置．
1．若角
的終邊經過點
，則
的值為（ ）
A．
B．
C．
D．
2．下列函數中既是奇函數，又在
上單調遞增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
，且
，則實數
的值為（ ）
A．
B．
C．
D．
4．若等差數列
的前5項和
，且
，則
（ ）
A．12 B．
5．已知橢圓
（
）的的短軸端點分別為
、
，左右焦點分別為
、
，長軸左端點為
，若
，則橢圓的離心率為（ ）
A．
B．
C．
D．
6．、
為兩個互相垂直的平面，
、
為一對異面直線，下列條件：①
、
；②
、
；③、
；④、且與的的距離等于與的距離，其中是
的充分條件的有（ ）
A．①④ B．① C．③ D．②③
7．設，，為整數（
），若和被除得的余數相同，則稱和對模同余，記作
，已知
，且
，則的值可為（ ）
A．2007 B．
8．設
，若
，且
，則
的取值范圍是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，共35分．把答案填在橫線上．
9．設集合
，集合
，若
．
10．一個社會調查機構就某地居民的月
收入凋查了10000人，并根據所得
數據畫了樣本的頻率分布直方圖(如
右圖)．為了分析居民的收入與年齡、
學歷、職業等方面的關系，要從這
10 000人中再用分層抽樣方法抽出
100人作進一步調查，則在
(元)月收入段應抽出 人．
11．已知三棱錐
的各頂點都在一個半徑為
的球面上，球心
在AB上，
底面
，
，則三棱錐的體積與球的體積之比是
．
12．將圓
沿向量
平移，使其平移后能與直線
相切，則
=
．
13．兩位大學畢業生一起去一家單位應聘，面試前單位負責人對他們說：“我們要從面試的人中招聘3人，你們倆同時被招聘進來的概率是
”，根據這位負責人的話可以推斷出參加面試的人數為 人．
14．在
中，若
，
，則
的值為
。
15．已知
，則點
組成的圖形面積為 ．
三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
16．(本小題滿分12分)
已知
（其中
）．
（1）求函數
的值域；
（2）若的周期為
，求
的值并寫出該函數在
上的單調區間．
17．(本小題滿分12分)
高三年級有7名同學分別獲得校科技節某項比賽的一、二、三等獎，已知獲一等獎的人數不少于1人，獲二等獎的人數不少于2人，獲三等獎的人數不少于3人．
(1)求恰有2人獲一等獎的概率；
(2)求恰有3人獲三等獎的概率．
18．(本小題滿分12分)
如圖，在等腰梯形
中，
，
，
，為
邊上一點，且
，將
沿
折起，使平面
平面
．
（1）求證：平面平面
；
（2）試在上找一點
，使截面
把幾何體分成兩部分，且
；
（3）在（2）的條件下，判斷
是否平行于平面．
19．(本小題滿分13分)
數列中，
，
（
）．
（1）求證：數列
與
（）都是等差數列；
（2）若數列的前
項和為
，設
，且數列
是等差數列，求非零常數
．
20．(本小題滿分13分)
已知點
在橢圓
：
上，、分別為橢圓的左、右焦點，滿足
，
．
(1)求橢圓的離心率；
(2)若橢圓的長軸長為6，過點
且不與
軸垂直的直線
與橢圓相交于兩個不同點、
，且
（
，且
）。在軸上是否存在定點
，使得
．若存在，求出所有滿足這種條件的點的坐標；若不存在，說明理由．
21．(本小題滿分13分)
函數
（
且
），
，
的導函數滿足
，設
、
為方程
的兩根。
（1）求
的取值范圍；
（2）若
，且當
最小時，的極大值比極小值大
，求的解析式．
炎德?英才大聯考高三月考試卷(八)
1．D 2．C 3．A 4．B 5．D 6．C 7．C 8．A
9．
10．
25 11．
12．
或
者 13．21 14．3 15．
16．解：（1）
……………………………………………(3分)
∴
值域為
…………………………………………………………………(6分)
（不同變形參照給分）
（2）因為的周期為
∴
………………………………………………………………(8分)
∴
∴在
、
上單調遞增，
在
上單調遞減。…………………………………………………(12分)
17．解：按一、二、三等獎的順序，獲獎人數有三種情況：
，
，
…………………………………………………………(1分)
當獲獎人數為時，發獎方式有：
（種）…………………(3分)
當獲獎人數為時，發獎方式有：
（種）…………………(5分)
當獲獎人數為時，發獎方式有：
（種）…………………(7分)
(1)故恰有2人獲一等獎的概率為
……………………(9分)
(2)故恰有3人獲三等獎的概率為
……………………(11分)
答：(略)………………………………………………………………………(12分)
18．解：(1)證明：依題意知
，又∵平面
平面
，∴
平面
又
平面
，∴平面平面．……………………………(4分)
（2）解：∵
，………………………………………(6分)
設P、M到底面的距離分別為
、
，則
∴
，∴
為
中點。……………………………………………………(8分)
（3）∵
，
平面，
平面，∴
平面
…………………………………………………(10分)
若
平面，∵
，∴平面
平面
這與平面
與平面有公共點
矛盾
∴
與平面不平行……………………………………………………(12分)
(本題也可以用向量法解答)
19．解：（1）由
，得
，
兩式相減，得
，……………………………………………(3分)
所以數列
，
，
，…，
，…是以
為首項，3為公差的等差數列，
即數列
為等差數列； ……………………………………………(5分)
又因為
，
，
∴
∴數列
，
，
，…，
，…是以
為首項，3為公差的等差數列，
即數列
為等差數列． ……………………………………………………(7分)
（2）
……………………………………………………(10分)
∴
，∴
，
，
∵數列
是等差數列，∴
，
∴
，
解得：
，
（舍去）．……………………………………………(13分)
20．解（1）令
，
．
由題意得：
又
，所以
，
所以
…………………………………(4分)
（2）∵
，∴
，于是
，
∴
，
∴橢圓E的方程為
…………………………………………………(5分)
從而
，
設點M、N、G的坐標依次為
、
、
，
∵
，∴
，
∴
………………………………………………………………(7分)．
又
，
且
，
∴
即得
． ………………………………………………(9分)
又
，
故得
．……………………………………………(*)(10分)
因
不垂直于
軸，設直線的方程為
，與橢圓
：聯立得：
∵點
在橢圓內部，
∴直線必與橢圓有兩個不同交點．
方程有兩個不等實數根
，
則由根與系數的關系，得
，
，
代入（*）得
整理，得
，即
∴存在這樣的定點滿足題設．…………………………………………(13分)
21．解：（1）∵
，
∴
，即
。又
，
∴
即為
，
∴
∵
，∴
．
解得
，
又∵方程
，（）有兩根，∴
而
恒成立，
∴
的取值范圍是
．………………………………………………(6分)
（2）∵、是方程
的兩根即
的兩根為、
∴
，
∴
∵，∴當且僅當
，即
時，
取最小值．
即時，
最小． ………………………………………………(10分)
此時
，
，
令，得
，
，
∵
，∴、、
的變化情況如下表
ㄊ
極大 值
ㄋ
極小值
ㄊ
∴由表知：的極大值為
，極小值為
，由題知
。
解得
，此時
同步練習冊答案
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