河西區2008―2009學年度第二學期高三年級總復習質量調查（二）
數 學 試 卷（理科）
題號
一
二
三
總分
17
18
19
20
21
22
得分
第I卷 （選擇題 共50分）
一、選擇題：（本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把所選答案標號字母填在下面的對應題目處。）
1．已知函數
的定義域為M，
的定義域為N，則
等
于
A．
B．
C．
D．
2．設變量
滿足約束條件
，則目標函數
的最小值為
A． 4 B．－5
C．－6 D．－8
3．如圖所示，一個空間幾何體的正視圖和側視圖都是底為1，高為
2的矩形，俯視圖是一個圓，那么這個幾何體的表面積為
A．
B．
C．
D．
4．給出下列四個命題：
①若
則
；
②“
”是“函數
無零點”的充分不必要條件；
③
；
④命題“若一個整數的末位數字是0，則這個整數能被5整除”的逆命題其中是真命題的為
A．①③ B．①②
C．①④ D．②③
5．已知向量
，則
的面積等于
A．1
B．
C．7 D．
6．執行右邊的程序框圖，則輸出的S等于
A．162 B．165
C．195 D．198
7．極坐標系中，點
到直線
的距離是
A．
B．1
C．
D．3
8．設中心在原點的橢圓
的離心率為
，焦點在
軸上，且長半軸長為10，若曲線
上
任意一點到橢圓C
的兩個焦點的距離的差的絕對值等于6，則曲線的方程為
A．
B．
C．
D．
9．已知
，則
，
，
的大小關系是
A．
B．
C．
D．
10．設
是定義在R上的奇函數，且當
時，
，若對任意的
，
不等式
，則實數
的取值范圍是
A．
B． 
C．
D．
第Ⅱ卷 （非選擇題 共100分）
二、填空題：（本大題共6小題，每小題4分，共24分，請把答案直接填在題中橫線上。）
11．一個學校共有N名學生，要采用等比例分層抽樣的方法從全體學生中抽取樣本容量為
的樣本，已知高三年級有
名學生，那么從高三年紀抽取的學生人數是___________。
12．設復數
滿足
則
___________________。
13．已知函數
是R上的減函數，則的取值范圍是________________。
14．已知
是方程
的兩個根，且
則
=______
15．如圖，已知
與
相交于A，B兩點，直線PQ切
，
于P，與交于N、Q兩點，直線AB交PQ于M，若MN
=2，PQ=12，則PM=________________。
16．某班3名同學去參加5項活動，每人只參加1項，同一項活動最多2人參加，則3人參加活動的方案共有___________種，（用數字用作答）
三、解答題：（本大題共6小題，共76分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。）
17．（本小題滿分12分）
已知向量
，函數
的最小正周期為
，最大值為3。
（I）求
和常數的值；
（Ⅱ）求函數的單調增區間及使
成立的的取值集合。
18．（本小題滿分12分）
一個袋中裝有大小相同的白球和黑球共10個，已知從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是
。
（I）求原來袋中白球的個數；
（Ⅱ）從原來袋中任意摸出3個球，記得到黑球的個數為
，求隨機變量的分布列和數學期望
19．（本小題滿分12分）
如圖，已知三棱錐P―ABC中，底面是邊長為
的等邊三角形，又PA=PB=
，
（I）證明平面
平面ABC；
（Ⅱ）求直線PB與平面PAC所成角的正弦值。
20．（本小題滿分12分）
已知拋物線C的頂點在坐標原點O，準線方程是
，過點
的直線
與拋物線C相交于不同的兩點A，B
（I）求拋物線C的方程及直線的斜率
的取值范圍；
（Ⅱ）求
（用表示）
21．（本小題滿分14分）
已知定義在正實數集上的函數
其中
，設兩曲線
與
有公共點，且在公共點處的切線相同。
（I）若
，求兩曲線
與
在公共點處的切線方程；
（Ⅱ）用表示，并求的最大值。
22．（本小題滿分14分）
已知數列
的通項
為函數
在[0，1]上的最小值和最大值的和，又數列
滿足：
，其中
是首項為1，公比為
的等比數列的前項和
（I）求的表達式；
（Ⅱ）若
，試問數列
中是否存在整數，使得對任意的正整數都有
成立？并證明你的結論。
河西區2008―2009學年度第二學期高三年級總復習質量調查（二）
一、選擇題：（每小題5分，共50分）
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
B
A
C
C
D
A
A
B
二、填空題：（每小題4分，共24分）
11．
； 12．
； 13．
； 14．
； 15．4 16．120
三、解答題：（共76分，以下各題為累計得分，其他解法請相應給分）
17．解：（I）
由
，得
。
又當
時
，得
（Ⅱ）當
即
時函數遞增。
故
的單調增區間為
，
又由
，得
，
由
解得
故使
成立的
的集合是
18．解：（I）設袋中有白球個，由題意得
，
即
解得
或
（舍），故有白球6個
（法二，設黑球有個，則全是黑球的概率為
由
即
，解得
或
（舍），故有黑球4個，白球6個
（Ⅱ）
，
0
1
2
3
P
故分布列為
數學期望
19．解：（I）取AB的中點O，連接OP，OC
PA=PB 
PO
AB
又在
中，
，
在
中，
，又
，故有
又
，
面ABC
又PO
面PAB，面PAB面ABC
（Ⅱ）以O為坐標原點， 分別以OB，OC，OP為軸，
軸，
軸建立坐標系，
如圖，則A
設平面PAC的一個法向量為
。
得
令
，則
設直線PB與平面PAC所成角為
于是
20．解：（I）由題意設C的方程為
由
，得
。
設直線
的方程為
，由
②代入①化簡整理得 
因直線與拋物線C相交于不同的兩點，
故
即
，解得
又
時僅交一點，
（Ⅱ）設
，由由（I）知
21．解：（I）當
時，
設曲線
與
在公共點（
）處的切線相同，則有
即
解得
或
（舍）
又
故得
公共點為
，
切線方程為 
，即
（Ⅱ）
，設在（
）處切線相同，
故有
即
由①
，得
（舍）
于是
令
，則
于是當
即
時，
，故
在
上遞增。
當
，即
時，
，故在
上遞減
在
處取最大值。
當
時，b取得最大值
22．解：（I）
的對稱軸為
，又當
時，
，
故
在[0，1]上是增函數
即
（Ⅱ）
由
得
①―②得
即
當
時，
，當
時，
于是
設存在正整數
，使對，
恒成立。
當時，
，即
當時，
。
當
時，
，當
時，
，當
時，
存在正整數
或8，對于任意正整數
都有成立。
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