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已知函數(shù)f(x)=

1-x

ax

+lnx．
（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求正實數(shù)a的取值范圍；
（2）當a=1時，求f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值；
（3）當a=1時，求證：對大于1的任意正整數(shù)n，都有lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

．

已知函數(shù)f(x)=4x3-3x2cosθ+

1

32

，其中x∈R，θ為參數(shù)，且0≤θ≤

π

2

．
（Ⅰ）當cosθ=0時，判斷函數(shù)f（x）是否有極值；
（Ⅱ）要使函數(shù)f（x）的極小值大于零，求參數(shù)θ的取值范圍；
（Ⅲ）若對（Ⅱ）中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)θ，函數(shù)f（x）在區(qū)間（2a-1，a）內(nèi)都是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

已知函數(shù)f（x）對任意的實數(shù)x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且當x＞0時，f（x）＞1．
（1）求證：函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x²-ax+5a）＜2的解集為{x|-3＜x＜2}，求f（2009）的值；
（3）在（2）的條件下，設(shè)a_n=|f（n）-14|（n∈N^*），若數(shù)列{a_n}從第k項開始的連續(xù)20項之和等于102，求k的值．

已知函數(shù)f(x)=

1-x

ax

+lnx（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求正實數(shù)a的取值范圍；（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（3）當a=1時，求證：對大于1的任意正整數(shù)n，都有lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

．

已知函數(shù)f（x）=ax²+4x-2，若對任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，都有f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

．
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）對于給定的實數(shù)a，有一個最小的負數(shù)M（a），使得x∈[M（a），0]時，-4≤f（x）≤4都成立，則當a為何值時，M（a）最小，并求出M（a）的最小值．