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如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC=1，AA₁=2，D、E分別是BB₁、CC₁的中點，M是DE的中點．
（1）求證：平面ADE⊥平面AMA₁；
（2）試問能否在線段AC₁上找一點N，使得直線MN與平面ADA₁平行？請說明理由；
（3）求三棱錐A₁-ADE的體積．

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一、ADBCC  CCBBA  DC

二、13. ,;14. ；15. ．16.

三、

17.

解: (Ⅰ)由, 是三角形內角，得……………..

∴ ………………………………………..

  …………………………………………………………6分

(Ⅱ) 在中,由正弦定理， ，

…, ,

由余弦定理得:

                =………………………………12分

18.

解：（I）已知，

       只須后四位數字中出現2個0和2個1.

                                             …………4分

   （II）的取值可以是1，2，3，4，5，.

                                                              …………8分

       的分布列是

1

2

3

4

5

P

                                                                                                      …………10分

                 …………12分

   （另解：記

       .）

19.

證明： 解法一：（1）取PC中點M，連結ME、MF，則MF∥CD，MF=CD，又AE∥CD，AE=CD，∴AE∥MF，且AE=MF，∴四邊形AFME是平行四邊形，∴AF∥EM，∵AF平面PCE，∴AF∥平面PCE. …………………………………(4分)

         (2)∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD. ∴CD⊥PD，∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，即∠PDA=45°，   ………………………………………………………………(6分)

∴△PAD是等腰直角三角形，∴AF⊥PD，又AF⊥CD，∴AF⊥平面PCD，而EM∥AF，∴EM⊥平面PCD. 又EM平面PEC，∴面PEC⊥面PCD. 在平面PCD內過F作FH⊥PC于H，則FH就是點F到平面PCE的距離. …………………………………(10分)

由已知，PD=，PF=，PC=，△PFH∽△PCD，∴，

∴FH=.           ………………………………………………………………(12分)

       解法二：（1）取PC中點M，連結EM，

=+=，∴AF∥EM，又EM平面PEC，AF平面PEC，∴AF∥平面PEC. ………………………………………(4分)

（2）以Ａ為坐標原點，分別以所在直線為x、y、z

軸建立坐標系.　∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥PD，

∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，即∠PDA=45°. ……(6分)

∴A(0, 0, 0), P(0, 0, 2), D(0, 2, 0), F(0, 1, 1), E, C(3, 2, 0)，

設平面PCE的法向量為=(x, y, z)，則⊥，⊥，而=（-，0，2），

=（，2，0），∴-x+2z=0，且x+2y=0，解得y=-x，z=x. 取x=4

得=(4, -3, 3)，………………………………………………………………(10分)

又=（0，1，-1），

故點F到平面PCE的距離為d=.…………(12分)

20.

 解:1)函數.又,故為第一象限角,且.

   函數圖像的一條對稱軸方程式是: 得又c為半點焦距，

   由知橢圓C的方程可化為

                             （1）

   又焦點F的坐標為（），AB所在的直線方程為

                               （2）                     （2分)

  （2）代入（1）展開整理得

                      （3）

   設A（），B（），弦AB的中點N（），則是方程（3）的兩個不等的實數根，由韋達定理得

                       （4）

         即為所求。                    （5分）

2）與是平面內的兩個不共線的向量，由平面向量基本定理，對于這一平面內的向量，有且只有一對實數使得等式成立。設由1）中各點的坐標可得：

又點在橢圓上，代入（1）式得

化為：        （5）

   由（2）和（4）式得

   又兩點在橢圓上，故1有入（5）式化簡得：

由得到又是唯一確定的實數，且，故存在角，使成立，則有

若，則存在角使等式成立；若由與于是用代換，同樣證得存在角使等式：成立.

綜合上述，對于任意一點，總存在角使等式：成立.

                                                                     （12分）

21．解：(Ⅰ)  

所以函數在上是單調減函數. …………………………4分

 (Ⅱ) 證明:據題意且x₁<x₂<x₃,

由(Ⅰ)知f (x₁)>f (x₂)>f (x₃),  x₂=…………………………6分

…………………8分

即ㄓ是鈍角三角形……………………………………..9分

(Ⅲ) 假設ㄓ為等腰三角形，則只能是

即

  ①          …………………………………………

而事實上,    ②

由于,故(2)式等號不成立.這與式矛盾. 所以ㄓ不可能為等腰三角形..13分

22．

解：⑴∵，又，為遞增數列即為，

當時，恒成立，當時，的最大值為。∴ 。∴b的取值范圍是：                   （6分）

⑵     ①又       ②

①-②：

，

當時，有成立，

得與同號，于是由遞推關系得與同號，因此只要就可推導。又

，又    ，

即首項的取值范圍是

                                                                      （13分）