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長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的側棱AA₁=a，底面ABCD的邊長AB=2a，BC=a，E為C₁D₁的中點；
（1）求證：DE⊥平面BCE；
（2）求二面角E-BD-C的正切值．

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棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁∩B₁D₁=O．
①求異面直線OA與BD₁所成角的余弦值；
②求OA與平面BB₁D₁D所成角的余弦值．

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長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E是側棱BB₁的中點．
（I）求證：直線AE⊥平面A₁D₁E；
（II）求三棱錐A-A₁D₁E的體積．

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長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA1=

2

，AB=BC=2，O是底面對角線的交點．
（Ⅰ）求證：B₁D₁∥平面BC₁D；
（Ⅱ）求證：A₁O⊥平面BC₁D；
（Ⅲ）求三棱錐A₁-DBC₁的體積．

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棱長為a的正方體A₁B₁C₁D₁-ABCD中，O為面ABCD的中心．
（1）求證：AC₁⊥平面B₁CD₁；
（2）求四面體OBC₁D₁的體積；
（3）線段AC上是否存在P點（不與A點重合），使得A₁P∥面CC₁D₁D？如果存在，請確定P點位置，如果不存在，請說明理由．

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說明：1．參考答案與評分標準指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據試題主要考查的知識點和能力比照評分標準給以相應的分數．

      2．對解答題中的計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分數不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．

      3．解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．

4．只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分．

一、選擇題：本大題考查基本知識和基本運算．共8小題，每小題5分，滿分40分．

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

A

C

B

C

B

A

D

D

二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，滿分30分．其中13~15題是選做題，考生只能選做二題，三題全答的，只計算前二題得分．第12題第1個空3分，第2個空2分.

9．2          10．79         11．0 或 2       12．16，

13．1         14．3          15．6

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．

16．（本小題主要考查三角函數性質和三角函數的基本關系等知識，考查化歸與轉化的數學思想方法，以及運算求解能力）

解：（1）

                 ．                

∵，

∴函數的值域為．                                     

（2）∵，，∴，．

∵都為銳角，∴，．

∴                    

            ．

∴的值為．                                      

17．（本小題主要考查空間線面關系、幾何體的表面積與體積等基本知識，考查數形結合的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力）

解：（1）設,∵幾何體的體積為，

∴，                      

即，

即，解得．

∴的長為4．                                           

（2）在線段上存在點，使直線與垂直．     

以下給出兩種證明方法：

方法1：過點作的垂線交于點，過點作 

交于點．

∵，，，

∴平面．

∵平面，∴．

∵，∴平面．

∵平面，∴．      

在矩形中，∵∽，

∴，即，∴．

∵∽，∴，即，∴．

在中，∵，∴．

由余弦定理，得

．

∴在線段上存在點,使直線與垂直，且線段的長為．

方法2：以點為坐標原點，分別以，，所在的直線為軸，軸，軸建立如圖的空間直角坐標系，由已知條件與（1）可知，，，，  

假設在線段上存在點≤≤2，，0≤≤

使直線與垂直，過點作交于點．

由∽，得，

∴．

∴．

∴，．

∵，∴，

即，∴．       

此時點的坐標為，在線段上．

∵，∴．

∴在線段上存在點，使直線與垂直，且線段的長為．

18．（本小題主要考查等差數列、等比數列的通項公式與前項和公式等基礎知識，考查化歸與轉化、分類與整合的數學思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力）

解：設等比數列的首項為，公比為，

若，，成等差數列，

則．

∴．

∵，，∴．

解得或．             

當時，∵，，，         

∴．

∴當時，，，不成等差數列．

當時，，，成等差數列．下面給出兩種證明方法．

證法1：∵

                            ，

∴．

∴當時，，，成等差數列．

證法2：∵，          

又

              ， 

∴．

∴當時，，，成等差數列． 

19．（本小題主要考查等可能事件、互斥事件和獨立重復試驗等基礎知識，考查化歸與轉化的數學思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力）

解：（1）∵一次摸球從個球中任選兩個，有種選法，                         

任何一個球被選出都是等可能的，其中兩球顏色相同有種選法，

∴一次摸球中獎的概率．             

（2）若，則一次摸球中獎的概率，                  

三次摸球是獨立重復試驗，三次摸球恰有一次中獎的概率是

．                                    

（3）設一次摸球中獎的概率為，則三次摸球恰有一次中獎的概率為，，

∵，

∴在上為增函數，在上為減函數．              

∴當時，取得最大值．

∵≥，

解得．

故當時，三次摸球恰有一次中獎的概率最大．                 

20．（本小題主要考查函數的性質、函數與導數等知識，考查化歸與轉化、分類與整合的數學思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力和運算求解能力）

（1）解法1：∵，其定義域為，  

∴．                

∵是函數的極值點，∴，即．                                         

∵，∴．                                               

經檢驗當時，是函數的極值點，

∴．　                                            

解法2：∵，其定義域為，

∴．               

令，即，整理，得．

∵，

∴的兩個實根（舍去），，

當變化時，，的變化情況如下表：

―

0

＋

極小值

依題意，，即，

∵，∴．                           

（2）解：對任意的都有≥成立等價于對任意的都有≥．                       

當［1，］時，