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已知數列{a_n}滿足:a₁=2,a_n+1=2(1+)²a_n.

(1)求數列{a_n}的通項公式;

(2)設b_n=(An²+Bn+C)·2ⁿ,試推斷是否存在常數A，B，C，使對一切n∈N^*都有a_n=b_n+1-b_n成立？說明你的理由;

(3)求證：a₁+a₂+a₃+…+a_n≥2ⁿ⁺²-6.

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一、選擇題

1．D   2．B   3．C   4．D   5．B   6．C   7．C   8．D   9．C   10．D

二、填空題

11．　　12．　　13．　　14．2+　　15．

三、解答題

16．⑴∵                                                                               1分

＝                                                                                                 3分

又由得    ∴                            5分

故，f (x)_max＝1+2×1＝3                                          6分

⑵＜2在上恒成立時        9分

結合⑴知：  故m的取值范圍是（1，4）                        12分

17．⑴連結AC，△ABC為正△，又E為BC中點，∴AE⊥BC又AD∥BC

∴AE⊥AD，又PA⊥平面ABCD

故AD為PD在平面ABCD內的射影，由三垂線定理知：AE⊥PD。        4分

⑵連HA，由EA⊥平面PAD知∠AHE為EH與平面PAD所成線面角         5分

而tan∠AHE＝故當AH最小即AH⊥PD時EH與平面PAD所成角最大

                                                                                                               6分

令AB＝2，則AE＝，此時

∴AH＝，由平幾知識得PA＝2                                                          7分

因為PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD

過E作EO⊥AC于O，則EO⊥平面PAC

過O作OS⊥AF于S，連結ES，則∠ESO

為二面角E―AF―C的平面角                                                                 9分

在Rt△AOE中，EO＝AE?sin30^o＝，AO＝AE?cos30^o＝

又F是PC的中點，在Rt△ASO中，SO＝AO?sin45^o＝

又SE＝，在Rt△ESO中，cos∠ESO＝

即所求二面角的余弦值為                                                                                      12分

注：向量法及其它方法可參照給分。

18．⑴設平均數為，                     

即測量50次的平均值為70米                                                                    4分

⑵                                                                                              7分

⑶每一次測得數據為71米的概率為                                           10分

故所求概率                                                         12分

19．⑴容器底面是邊長為(2－2x)的正三角形，高為x

∴　∴

故定義域為

⑵，                                            5分

令V'＝0得x＜或x＞1；V'＜0得

∴V在(0，)和(1，＋∞)上單調遞增，在(，1)上單調遞減

當時，x＝時，V最大，V_max＝V()＝

當即時，由V在(0，)上遞增知

x＝時，V最大，V_max＝

20．⑴由得ax²＋(2a－1)x＝0(a≠0)

∴當且僅當時，有唯一解x＝0，∴

當得x₁＝2，由

∴數列是首項為，公差為的等差數列

∴                                                           7分

⑵　又

∴　且a_n＞0，a₂＝

∴

即

當n≥2時，

故

21．⑴設橢圓方程為，F(c，0)

則AB∶y＝x－c代入得(a²＋b²)x²－2a²cx＋a²c²－a²b²＝0

令A(x₁、y₁)、B(x₂、y₂)，則

由與共線

得3(y₁＋y₂)＋(x₁＋x₂)＝0，又y₁＝x₁－c，y₂＝x₂－c

∴3(x₁＋x₂－2c)＋(x₁＋x₂)＝0，∴x₁＋x₂＝

∴即a²＝3b²，故                              7分

⑵由⑴知a²＝3b²，橢圓方程可化為x²＋3y²＝3b²

設＝(x，y)，則(x，y)＝λ(x₁，y₁)＋μ(x₂，y₂)

∴

∵M(x，y)在橢圓上

∴(λx₁＋μx₂)²＋(λy₂＋μy₂)²＝3b²

即λ²(x₁²＋3y₁²)＋μ²(3x₂²＋3y₂²)＋2λμ(x₁x₂＋3y₁y₂)＝3b²　　①

由⑴知，x₁＋x₂＝，a²＝，b²＝

∴x₁x₂＝

∴x₁x₂＋3y₁y₂＝x₁x₂＋3(x₁－c)(x₂－c)＝4x₁x₂－3(x₁＋x₂)c＋3c²

           ＝

又x₁²＋3y₁²＝3b²，x₂²＋3y₂²＝3b²代入①得λ²＋μ²＝1                         14分