題目列表(包括答案和解析)
（本題滿分12分）
在四棱錐P-ABCD中，
平面ABCD，E為PD的中點，PA=2，AB=1.
（1）求四棱錐P-ABCD的體積V;
（2）若F為PC的中點，求證：
平面PAC
平面AEF.
（本題滿分12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=2，E是PB的中點，F是AD的中點．
⑴求異面直線PD與AE所成角的大小；
⑵求證：EF⊥平面PBC ；
⑶求二面角F—PC—B的大小．.
（本題滿分12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=2，E是PB的中點，F是AD的中點．
⑴求異面直線PD與AE所成角的大小；
⑵求證：EF⊥平面PBC ；
⑶求二面角F—PC—B的大小．.
（本題滿分12分）
如圖，正四棱錐S-ABCD 的底面是邊長為
正方形，
為底面
對角線交點，側棱長是底面邊長的
倍，P為側棱SD上的點.
（Ⅰ）求證：AC⊥SD
（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，
為
中點,求證:
∥平面PAC;
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，側棱SC上是否存在一點E， 使得BE∥平面PAC.若存在，求SE：EC的值；若不存在，試說明理由。
（本題滿分12分）如圖，在四棱錐P―ABCD中，底面ABCD是矩形，側棱PA垂直于底面，E、F分別是AB、PC的中點
(1)求證 CD⊥PD;
(2)求證 EF∥平面PAD;
(3)當平面PCD與平面ABCD成
角時，求證：直線EF⊥平面PCD。
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．
1．B 2．C 3．【理】C 【文】B 4．A 5．C 6．D
7．C 8．C 9．【理】D 【文】B 10．A 11．B 12．【理】C 【文】D
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13． 2 14． 
15．
16． 
三、解答題：本大題共6小題，共70分．
17．（本題滿分10分）
解：
.……….2分
（Ⅰ）
當
，
.
………5分
（Ⅱ）【理】
………7分
，
.
………10分
【文】 ………8分
.
………10分
18．（本題滿分12分）
解：（Ⅰ）甲射擊一次，未擊中目標的概率為
， ………2分
因此，甲射擊兩次，至少擊中目標一次的概率為
. ……...6分
（Ⅱ）設“甲、乙兩人各射擊兩次，甲擊中目標2次，乙未擊中”為事件
；“甲、乙兩人各射擊兩次，乙擊中目標2次，甲未擊中”為事件
；“甲、乙兩人各射擊兩次，甲、乙各擊中1次”為事件
，
則
；
………7分
；
………8分
．
………9分
因為事件“甲、乙兩人各射擊兩次，共擊中目標2次”為
，而
彼此互斥，
所以，甲、乙兩人各射擊兩次，共擊中目標2次的概率為
. ……….12
分
19．（本題滿分12分））
【理科】解：（Ⅰ）
兩式相減得
從而
，
………3分
,可知
.
.
又
.
數列
是公比為2，首項為4的等比數列, ………5分
因此
（
）
………6分
（Ⅱ）據（Ⅰ）
(當且僅當n=5時取等號). ………10分
恒成立，
因此
的最小值是
. ………12分
【文科】（Ⅰ）∵等差數列
中，公差
，
∴
，
………3分
………6分
（Ⅱ）
,
………8分
令
，即得
， ………10分
.
數列
為等差數列，∴存在一個非零常數，使
也為等差數列． ………12分
20．（本題滿分12分）
證明（Ⅰ）法１：取
中點
，連接
，
∵
為
中點，
平行且等于
,
又∵E為BC的中點，四邊形
為正方形，
∴
平行且等于,
∴四邊形
為平行四邊形，
………3分
∴
，又
平面
，
平面，
因此，
平面．
………5分
法２：取AD的中點M，連接EM和FM，
∵F、E為PD和BC中點，
∴
,
∴平面
， ………3分
平面
因此，平面．
………5分
解（Ⅱ）【理科】：連接
，連接
并延長，交
延長線于一點
，
連接
，則為平面
和平面
的交線，
作
，
………7分
∵
平面，∴
，
又∵
，
∴
平面
，
則
．
在等腰直角
中，
，
平面，
∴平面
平面．
………10分
又平面
平面
．
∵
平面
平面，∴
為直線
與平面所成的角．
設
，則
，
，
在
中，
，
∴
．
因此，直線與平面所成的角
．….………………12分
（Ⅱ）【文科】
承接法2，
，又
，
∴
，
∵平面，
∴平面
平面.
………7 分
∴
平面
則
為直線與平面所成的角. ………9 分
在
中，
，
∴=
.
………12分
21．（本小題滿分12分）
【理科】解：（I）設雙曲線C的焦點為
由已知
，
， ……………2分
設雙曲線的漸近線方程為
，
依題意，
，解得
．
∴雙曲線的兩條漸近線方程為
．
故雙曲線的實半軸長與虛半軸長相等，設為
，則
，得
，
∴雙曲線C的方程為
……………６分.
（II）由
，
直線與雙曲線左支交于兩點，
因此
………………..９分
又
中點為
∴直線
的方程為
，
令x=0，得
，
∵
∴
∴故
的取值范圍是
． ………………12分．
【文科】解：（Ⅰ）
由已知
即
得
于是
……………..６分．
（Ⅱ）
恒成立，
恒成立.
……………….８分．
設
,則
上是增函數，在
上是減函數，
從而
處取得極大值
又
所以
的最大值是6，故
.………………12分
22．（本小題滿分12分）
【理科】解：（Ⅰ）
令
得
……………2分
當
為增函數；
當
為減函數，
可知
有極大值為
…………………………..4分
（Ⅱ）欲使
在
上恒成立，只需
在上恒成立，
設
由（Ⅰ）知，
，
……………………８分
（Ⅲ）
，由上可知
在
上單調遞增，
①，
同理
②…………………………..10分
兩式相加得
……………………………………12分
【文科】見理科21題答案．
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