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如圖，正三棱錐的三條側棱、、兩兩垂直，且長度均為2．、分別是、的中點，是的中點，過的平面與側棱、、或其延長線分別相交于、、，已知．
（1）求證：⊥面；
（2）求二面角的大小．

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如圖，正三棱錐的三條側棱、、兩兩垂直，且長度均為2．、分別是、的中點，是的中點，過的一個平面與側棱、、或其延長線分別相交于、、，已知．

（1）證明：⊥平面；

（2）求二面角的大小.

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一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

D

B

C

A

A

C

D

B

D

C

C

1．B.因但。

2．.因，

3．B. 因為的定義域為[0，2]，所以對，但故。

4． 函數為增函數

5． ，，…，

6．    

7.  .由題知,垂足的軌跡為以焦距為直徑的圓,則

又,所以

8.  

9. .

10．..函數

11..一天顯示的時間總共有種,和為23總共有4種,故所求概率為.

12．.當時，顯然成立

當時，顯然不成立；當顯然成立；

當時，則兩根為負，結論成立

故

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。

13.        14..            15. 5        16. A、B、D

13．依題意

14．

15. 易求得、到球心的距離分別為3、2，類比平面內圓的情形可知當、與球心共線時，取最大值5。

16., ∴對

取的中點,則, ∴對

設,    則,而,∴錯

又,∴對

∴真命題的代號是

三、解答題：本大題共6小題，共74分。

17．解：（1）由

得，           

于是=.          

（2）因為

所以          

的最大值為.      

18．解：（1）令A表示兩年后柑桔產量恰好達到災前產量這一事件

（2）令B表示兩年后柑桔產量超過災前產量這一事件

19．（1）設的公差為，的公比為，則為正整數，

，      

依題意有①

解得或(舍去)      

故

（2） 

∴

20．解 ：（1）證明：依題設，是的中位線，所以∥，

則∥平面，所以∥。

又是的中點，所以⊥，

則⊥。              

因為⊥，⊥，

所以⊥面，則⊥，

因此⊥面。

（2）作⊥于，連。

因為⊥平面，

根據三垂線定理知，⊥，              

就是二面角的平面角。       

作⊥于，則∥，則是的中點，則。

設，由得，，解得，

在中，，則，。

所以，故二面角為。

解法二：（1）以直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則

所以

所以         

所以平面           

由∥得∥，故：平面

(2)由已知設

則

由與共線得:存在有得

同理:

設是平面的一個法向量,

則令得

又是平面的一個法量

所以二面角的大小為                 

21. 解：（1）因為

令得           

由時，在根的左右的符號如下表所示

極小值

極大值

極小值

所以的遞增區(qū)間為        

的遞減區(qū)間為          

（2）由（1）得到，

要使的圖像與直線恰有兩個交點，只要或， 

即或.                        

22．（1）證明：設，

則直線的方程：       

即：

因在上，所以①   

又直線方程：

由得：

所以     

同理，

所以直線的方程：   

令得

將①代入上式得，即點在直線上

所以三點共線                           

（2）解：由已知共線，所以 

以為直徑的圓的方程：

由得

所以（舍去），        

要使圓與拋物線有異于的交點，則

所以存在，使以為直徑的圓與拋物線有異于的交點 

則