Question

如圖，在△ABC中，∠C=120°，AC=BC，AB=6，O為AB的中點，且以O為圓心的半圓與AC，BC分別相切于點D，E；
（1）求半圓O的半徑；
（2）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

（1）連結OD，OC，
∵半圓與AC，BC分別相切于點D，E．
∴OD⊥AC．
∵AC=BC，且O是AB的中點．
∴CO⊥AB，
∴AO=

1

2

AB=3
∵∠C=120°，
∴∠DCO=60°．
∴∠A=30°．
∴在Rt△AOD中，OD=

1

2

AO=

3

2

，
即半圓的半徑為

3

2

；
（2）設CO=x，則在Rt△AOC中，因為∠A=30°，所以AC=2x，由勾股定理得：
AC²-OC²=AO²，即（2x）²-x²=9，
解得x=

3

（x=-

3

舍去）
S=

1

2

×6×

3

-

1

2

×π×（

3

2

）²=3

3

-

9

8

π
∴陰影部分的面積為3

3

-

9

8

π．