Question

【題目】已知：如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且∠B+∠D=180°，

求證：AE=AD+BE．

Answer 1

【答案】證明見解析.

【解析】

首先在AE上截取AM=AD，連接CM，再證明△AMC≌△ADC，可得∠3=∠D，再根據∠B+∠D=180°，∠3+∠4=180°，可以證出∠4=∠B，根據等角對等邊可證出CM=BC，再根據等腰三角形的性質：等腰三角形底邊上的高線與底邊上的中線重合可得到ME-BE，再利用等量代換可證出AE=AD+BE．

證明：在AE上截取AM=AD，連接CM，

∵AC平分∠BAD，

∴∠1=∠2，

在△AMC和△ADC中，

∴△AMC≌△ADC（SAS），

∴∠3=∠D，

∵∠B+∠D=180°，∠3+∠4=180°，

∴∠4=∠B，

∴CM=CB，

∵CE⊥AB，

∴ME=EB（等腰三角形底邊上的高線與底邊上的中線重合），

∵AE=AM+ME，

∴AE=AD+BE．