Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E是CD邊上一點，DE＝2，過B作AE的垂線，垂足為點F，BF＝3，將△ADE沿AE翻折，得到△AGE，AG與BF于點M，連接BG，則△BMG的周長為______

Answer 1

【答案】

【解析】

延長BF交AD于K，作BH⊥AG于H．首先證明AK＝DE＝2，再利用相似三角形的性質求出FK，再證明∠ABK＝30°，把問題特殊化后即可解決問題．

如圖，延長BF交AD于K，作BH⊥AG于H．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠BAK＝∠ADE＝90°，

∵BF⊥AE，

∴∠AFB＝90°，

∴∠BAF+∠ABF＝90°，∠BAF+∠DAE＝90°，

∴∠ABK＝∠DAE，

∴△ABK≌△ADE（ASA），

∴AK＝DE＝2，

∵∠AKF＝∠AKB，∠AFK＝∠KAB＝90°，

∴△AKF∽△BKA，

∴＝，設KF＝x，

則有＝，

整理得，

解得x＝1或﹣4（舍棄），

∴BK＝BF+FK＝3+1＝4，

∵sin∠ABK＝＝＝，

∴∠ABK＝30°，

∴∠DAE＝∠ABK＝∠EAG＝∠BAG＝30°，

∴MA＝MB，

在Rt△ABH中，∵AB＝2，∠BAH＝30°，∠AHB＝90°，

∴BH＝AB＝，AH＝BH＝3，

∵AD＝AB＝AG＝2，

∴HG＝2﹣3，

∴BG＝＝＝3﹣，

∴△BMG的周長＝BM+GM+BG＝AM+GM+BG＝AG+BG＝2+3﹣．

故答案為：．