Question

（10分）如圖正方形ABCD邊長為1，G為CD邊上的一個動點（點G與C、D不重合），以CG為一邊向正方形ABCD外作正方形GCEF，連接DE交BG的延長線于點H。

（1）求證：BH⊥DE；
（2）當BH垂直平分DE時，求CG的長度？請說明理由。

Answer 1

（1）見解析；（2）

試題分析：（1)先根據正方形的性質證得△BCG≌△DCE，可得∠GBC=∠CDE，再根據Rt△DCE中∠CDE+∠CED=90⁰，即可證得結論；
（2）由BH垂直平分DE可得BD=BE，再由BD=即可求得結果.
（1）∵正方形ABCD
∴∠BCD=90⁰
BC=CD
同理:CG=CE
∠GCE=90⁰
∴∠BCD=∠GCE=90⁰  
∴△BCG≌△DCE
∴∠GBC=∠CDE
在Rt△DCE中
∠CDE+∠CED=90⁰
∴∠GBC+∠BEH=90⁰
∴∠BHE=180⁰-(∠GBC+∠BHE) =90⁰
∴BH⊥DE
(2)當CG=-1時BH垂直平分DE
理由如下：若BH垂直平分DE
∴BD=BE
∵BD=
∴CG=CE=BE-BC=-1.
點評：解答本題的關鍵是熟練掌握正方形的四條邊相等，四個角都是直角，線段垂直平分線上的點到相等兩端的距離相等。