Question

如圖1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點P從點A開始以1cm/s的速度沿AB邊向點B運動，點Q從點B以2cm/s的速度沿BC邊向點C運動，如果P、Q同時出發，設運動時間為ts，
（1）當t=2時，求△PBQ的面積；
（2）當t=時，試說明△DPQ是直角三角形；
（3）當運動3s時，P點停止運動，Q點以原速立即向B點返回，在返回的過程中，DP是否能平分∠ADQ？若能，求出點Q運動的時間；若不能，請說明理由．

Answer 1

（1）8  （2）見解析  （3）5.625s

試題分析：（1）當t=2時，AP=t=2，BQ=2t=4，
∴BP=AB﹣AP=4，
∴△PBQ的面積=×4×4=8；
（2）當t=時，AP=1.5，PB=4.5，BQ=3，CQ=9，
∴DP²=AD²+AP²=2.25+144=146.25，PQ²=PB²+BQ²=29.25，DQ²=CD²+CQ²=117，
∵PQ²+DQ²=DP²，
∴∠DQP=90°，
∴△DPQ是直角三角形．
（3）設存在點Q在BC上，延長DQ與AB延長線交于點O．
設QB的長度為x，則QC的長度為（12﹣x），
∵DC∥BO，
∴∠C=∠QBO，∠CDP=∠O，
∴△CDQ∽△BOQ，又CD=6，QB=x，QC=12﹣x，
∴=，即=，
解得：BO=，
∴AO=AB+BO=6+=，
∴DO=，PO=，
∵∠ADP=∠ODP，
∴12：DO=AP：PO，
代入解得x=0.75，
∴DP能平分∠ADQ，
∵點Q的速度為2cm/s，
∴P停止后Q往B走的路程為（6﹣0.75）=5.25cm．
∴時間為2.625s，加上剛開始的3s，Q點的運動時間為5.625s．

點評：用到的知識點為：直角三角形的面積等于兩直角邊積的一半；若三角形的三邊a，b，c符合a²+b²=c²，
那么∠C=90°；相似三角形的對應邊成比例；三角形的角平分線分對邊的比等于另兩邊之比．