Question

【題目】如圖，反比例函數 y＝的圖象與一次函數y＝mx＋b的圖象交于兩點A（1,3）,B（n,－1）．

（1）求反比例函數與一次函數的函數關系式；

（2）根據圖象，直接回答：當x取何值時，一次函數的值大于反比例函數的值；

（3）連接AO、BO，求△ABO的面積；

（4）在y軸上存在點P，使△AOP為等腰三角形，請直接寫出點P的坐標.

Answer 1

【答案】（1）y=，y=x+2；（2）-3＜x＜0或x＞1；（3）4；（4）P（0，-）或P（0，）或P（0，6）或P（0，）．

【解析】

（1）利用待定系數法求得一次函數與反比例函數的解析式；
（2）根據圖象，當自變量取相同的值時，函數圖象對應的點在上邊的函數值大，據此即可確定；
（3）設一次函數交y軸于D，根據S△ABO=S△DBO+S△DAO即可求解；
（4）求得OA的長度，分O是頂角的頂點，和A是頂角頂點，以及OA是底邊三種情況進行討論即可求解．

解：（1）∵A（1，3）在反比例函數圖象上，∴k=3，
∵B（n,－1）在y=的圖象上，
∴n=-3．
∵A（1，3），B（-3，-1）在一次函數y＝mx＋b圖象上，
∴，
解得m=1，b=2．
∴兩函數關系式分別是：y=和y=x+2．
（2）由圖象得：當-3＜x＜0或x＞1時，一次函數的值大于反比例函數的值；
（3）設一次函數y=x+2交y軸于D，則D（0，2），則OD=2，

∵A（1，3），B（-3，-1）
∴S△DBO=×3×2=3，S△DAO=×1×2=1
∴S△ABO=S△DBO+S△DAO=4．
（4）OA= = ，

O是△AOP頂角的頂點時，OP=OA，則P（0，-）或P（0，），

A是△AOP頂角的頂點時，由圖象得，P（0，6），

OA是底邊，P是△AOP頂角的頂點時，

p>

設 P（0，x），分別過A、P作AN⊥x軸于N，PM⊥AN于M，

則AP=OP=x，PM=1，AM=3-x,

在Rt△APM中， 即

解得x= ，

∴P（0，）．

故答案為：（1）y=，y=x+2；（2）-3＜x＜0或x＞1；（3）4；（4）P（0，-）或P（0，）或P（0，6）或P（0，）．