Question

如圖，已知矩形ABCD中，AB=10，AD=4，點E為CD邊上的一個動點，連結AE、BE，以AE為直徑作圓，交AB于點F，過點F作FH⊥BE于H，直線FH交⊙O于點G．
(1)求證：⊙O必經過點D；
(2)若點E運動到CD的中點，試證明：此時FH為⊙O的切線；
(3)當點E運動到某處時，AE∥FH，求此時GF的長．

Answer 1

（1）證明：∵矩形ABCD中，∠ADC=90°，且O為AE中點，
∴OD=AE，
∴點D在⊙O上．
（2）證明：如圖，連結OF、EF．

易證AFED為矩形，
∴AF=DE．
∵E為CD的中點，
∴F為AB的中點．
∴OF為△ABE的中位線，
∴OF∥EB．
∵FH⊥EB，∴OF⊥FH．
∴FH為⊙O的切線．
（3）解：作OM⊥FG，連結OF．

∵AE∥FH，∴∠AEB=90°．
易證△ADE∽△ECB，
由相似得：DE=2或8．
①當DE=2時，
如圖，AF=2，FB=8，EB=4，AE=2．
由△BFH∽△BAE得，HB=，∴OM=EH=．
∴FG=2FM=．
②當DE=8時，
如圖，同上解法，可得OG=AE=2．

OM=EH=．
∴FG=2GM=．

（1）利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一邊得出結論；
（2）連結OF、EF，證出OF⊥FH，從而得出FH為⊙O的切線；
（3）分DE=2或8二種情況進行討論。