Question

（1）求證：不論m為何值，關于x的方程2x（x-2m）=（1-m）（1+m）總有兩個不等的實數根．
（2）二次函數y=2x²-4mx+m²-1的圖象與x軸有交點嗎？請說明理由．
（3）請你根據前兩問得到的啟示，利用二次函數y=2x²-4x+1的圖象，求出x取何值時y＞0．

Answer 1

（1）原方程可化為：2x²-4mx+m²-1=0，
∵△=（-4m）²-4×2（m²-1）=8m²+8＞0，
∴關于x的方程2x（x-2m）=（1-m）（1+m）總有兩個不等的實數根；

（2）∵△=（-4m）²-4×2（m²-1）=8m²+8＞0，
∴二次函數y=2x²-4mx+m²-1的圖象與x軸總有兩個不同的交點；

（3）∵二次函數y=2x²-4x+1中，a=2＞0，
∴此函數的圖象開口向上，
∵x=

-b± b2-4ac

2a

=

4± (-4)2-4×2

2×2

=1±

2

2

，
∴二次函數y=2x²-4x+1的圖象與x軸的交點為（1+

2

2

，0），（1-

2

2

，0），
∴當x＞1+

2

2

或x＜

2

2

時y＞0．