Question

【題目】如圖，已知△ABC內接于⊙O，AB是直徑，點D在⊙O上，OD∥BC，過點D作DE⊥AB，垂足為E，連接CD交OE邊于點F．

（1）求證：△DOE∽△ABC；

（2）求證：∠ODF=∠BDE；

（3）連接OC．設△DOE的面積為S．sinA=，求四邊形BCOD的面積（用含有S的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）S四邊形BCOD=．

【解析】

（1）根據圓周角定理和垂直（DE⊥AB）得出∠DEO=∠ACB；根據平行（OD∥BC）得出∠DOE=∠ABC；根據相似三角形的判定即可證明；

（2）根據相似三角形的性質可得∠ODE=∠A，根據圓周角定理可得∠A=∠BDC，進而推出∠ODE=∠BDC，等式兩邊同時減去∠EDF即可證明∠ODF=∠BDE.

（3）根據相似三角形的性質可得S△ABC=4S△DOE=4S，進而可得S△BOC=2S；由sinA=，∠A=∠ODE及圓的半徑相等（OD=OB），可得，將三部分的面積相加，即可解答本題.

（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵DE⊥AB，

∴∠DEO=90°，

∴∠DEO=∠ACB，

∵OD∥BC，

∴∠DOE=∠ABC，

∴△DOE∽△ABC；

（2）證明：∵△DOE∽△ABC，

∴∠ODE=∠A，

∵∠A和∠BDC是所對的圓周角，

∴∠A=∠BDC，

∴∠ODE=∠BDC，

∴∠ODF=∠BDE；

（3）解：∵△DOE∽△ABC，

∴，

即S△ABC=4S△DOE=4S，

∵OA=OB，

∴，

即S△BOC=2S，

∵sinA=，sinA=sin∠ODE，

∴，

∴OE=，

∴，

∴，

∴S四邊形BCOD=S△BOC+S△DOE+．