Question

【題目】如圖1， 與 為等腰直角三角形， 與 重合， ， ．固定 ，將 繞點 順時針旋轉，當 邊與 邊重合時，旋轉終止．現不考慮旋轉開始和結束時重合的情況，設 （或它們的延長線）分別交 （或它們的延長線）于點 ，如圖2．

（1）證明： ；
（2）當 為何值時， 是等腰三角形？

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，

∴∠B=∠EDF=45°

在△AGC和△HAB中

∵∠ACG=∠B=45°，

∠HAB=∠BAG+∠GAH =∠BAG+45°=∠CGA

∴△AGC∽△HAB

（2）解：①當∠GAH＝45是等腰三角形的底角時，

如圖可知： ；

②當∠GAH＝45是等腰三角形的頂角時，如圖：

在△HGA和△AGC中，

∵∠AGH＝∠CGA，∠GAH＝∠C＝45，

∴△HGA∽△AGC，∵AG＝AH，

∴

③如圖，G與B重合時，符合要求，

此時CG=BC=

∴當 或 或 時，

△AGH是等腰三角形

【解析】第1小題，根據等腰三角形的性質可得∠B=∠EDF=45°，由有兩個角對應相等的兩個三角形相似可證△AGC∽△HAB；第2小題，分三種情況，①當∠GAH＝45是等腰三角形的底角時；②當∠GAH＝45是等腰三角形的頂角時；③G與B重合時。