Question

如圖，在△ABC 中，BA=BC，以AB為直徑作半圓⊙O，交AC于點D．連結DB，過點D 作DE⊥BC，
垂足為點E．

（1）求證：AD = CD；
（2）判斷直線DE與⊙O的位置關系，并說明理由；
（3）求證：DB2 = AB·BE．

Answer 1

（1）∵ AB是直徑∴ ∠ADB=90°∵ BA = BC∴ AD = CD（2）DE與⊙O相切；（3）可證明：
△BED∽△BDC得到證明DB2 = AB·BE

試題分析：證明：（1）∵ AB是直徑∴ ∠ADB=90°∵ BA = BC∴ AD = CD               
（2）DE與⊙O相切；連接OD，                 
∵CD=AD                                
又∵AO=BO
∴OD是△ABC的中位線
∴OD∥BC                                                 
∵∠DEB=90°
∴∠ODE=90°
即OD⊥DE
∴DE為⊙O的切線。          
（3）∵∠BED =∠BDC =90⁰，∠EBD =∠DBC     
∴△BED∽△BDC                     
∴                               
又∵AB=BC
∴                               
∴BD²=AB•BE
點評：本題難度中等，主要考查學生對圓及相似三角形判定性質知識點的掌握與運用能力。