Question

【題目】如圖1，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=6，BC=4，點M從點D出發，以每秒2個單位長度的速度向點A運動，同時，點N從點B出發，以每秒1個單位長度的速度向點C運動．其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．過點N作NP⊥AD于點P，連接AC交NP于點Q，連接MQ．設運動時間為t秒．

（1）AM= ，AP= ．（用含t的代數式表示）

（2）當四邊形ANCP為平行四邊形時，求t的值.

（3）如圖2，將△AQM沿AD翻折，得△AKM，是否存在某時刻t，

①使四邊形AQMK為菱形，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由

②使四邊形AQMK為正方形，則AC= ．

Answer 1

【答案】（1）6﹣2t，2+t．（2）1；（3）①0.5；②6．

【解析】

試題分析：（1）由DM=2t，根據AM=AD-DM即可求出AM=6-2t；先證明四邊形CNPD為矩形，得出DP=CN=4-t，則AP=AD-DP=2+t；

（2）根據四邊形ANCP為平行四邊形時，可得4-t=6-（6=4-t），解方程即可；

（3））①由NP⊥AD，QP=PK，可得當PM=PA時有四邊形AQMK為菱形，列出方程4-t-2t=6-（4-t），求解即可，

②要使四邊形AQMK為正方形，由∠ADC=90°，可得∠CAD=45°，所以四邊形AQMK為正方形，則CD=AD，由AD=8，可得CD=6，利用勾股定理求得AC即可．

試題解析：（1）6﹣2t，2+t．

（2）∵四邊形ANCP為平行四邊形時，CN=AP，

∴4﹣t=t+2，解得t=1，

（3）①∵NP⊥AD，QP=PK，

∴當PM=PA時有四邊形AQMK為菱形，

∴4﹣t﹣2t=2+t，解得t=0.5，

∴存在時刻t=0.5，使四邊形AQMK為菱形.

②AC=6．