Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，已知點A（0，4），點B在x正半軸上，且∠ABO=30度．動點P在線段AB上從點A向點B以每秒個單位的速度運動，設運動時間為t秒．在x軸上取兩點M，N作等邊△PMN．

（1）求直線AB的解析式；

（2）求等邊△PMN的邊長（用t的代數式表示），并求出當等邊△PMN的頂點M運動到與原點O重合時t的值；

（3）如果取OB的中點D，以OD為邊在Rt△AOB內部作如圖2所示的矩形ODCE，點C在線段AB上．設等邊△PMN和矩形ODCE重疊部分的面積為S，請求出當0≤t≤2秒時S與t的函數關系式，并求出S的最大值．

Answer 1

【答案】(1) y=﹣x+4 (2) PM=8﹣t，t=2 (3)當0≤t≤1時，S=2t+6；當1＜t＜2時，S=﹣2t2+6t+4；當t=2時，S=8；最大值為

【解析】

（1）根據已知條件求得點B的坐標，再用待定系數法求直線AB得解析式即可；（2）在Rt△AOB中，求得AB=8，即可表示出BP= 8-t，再由tan∠PBM=，即可用t的代數式表示PM得長；當點M與點O重合時，可得AO=2AP，由此即可求得t值；（3）根據當0≤t≤1時、當1＜t＜2時及當t=2時，分別求出S與t的函數解析式，并求得最大值，比較即可.

（1）由OA=4，∠ABO=30°，得到OB=12，

∴B（12，0），設直線AB解析式為y=kx+b，

把A和B坐標代入得：，

解得：，

則直線AB的解析式為：y=﹣x+4．

（2）∵∠AOB=90°，∠ABO=30°，

∴AB=2OA=8，

∵AP=t，

∴BP=AB﹣AP=8t，

∵△PMN是等邊三角形，

∴∠MPB=90°，

∵tan∠PBM=，

∴PM=（8﹣t）×=8﹣t．

如圖1，過P分別作PQ⊥y軸于Q，PS⊥x軸于S，

可求得AQ=AP=t，PS=QO=4﹣t，

∴PM=（4﹣）÷=8﹣t，

當點M與點O重合時，

∵∠BAO=60°，

∴AO=2AP．

∴4=2t，

∴t=2．

（3）①當0≤t≤1時，見圖2．

設PN交EC于點G，重疊部分為直角梯形EONG，作GH⊥OB于H．

∵∠GNH=60°，，

∴HN=2，

∵PM=8﹣t，

∴BM=16﹣2t，

∵OB=12，

∴ON=（8﹣t）﹣（16﹣2t﹣12）=4+t，

∴OH=ON﹣HN=4+t﹣2=2+t=EG，

∴S=（2+t+4+t）×2=2t+6．

∵S隨t的增大而增大，

∴當t=1時，Smax=8．

②當1＜t＜2時，見圖3．

設PM交EC于點I，交EO于點F，PN交EC于點G，重疊部分為五邊形OFIGN．

作GH⊥OB于H，

∵FO=4﹣2t，

∴EF=2﹣（4﹣2t）=2t﹣2，

∴EI=2t﹣2．

∴S=S梯形ONGE﹣S△FEI=2t+6﹣（2t﹣2）（2t﹣2）=﹣2t2+6t+4

由題意可得MO=4﹣2t，OF=（4﹣2t）×，PC=4﹣t，PI=4﹣t，

再計算S△FMO=（4﹣2t）2×

S△PMN=（8﹣t）2，S△PIG=（4﹣t）2，

∴S=S△PMN﹣S△PIG﹣S△FMO=（8﹣t）2﹣（4﹣t）2﹣（4﹣2t）2×

=﹣2t2+6t+4

∵﹣2＜0，

∴當時，S有最大值，Smax=．

③當t=2時，MP=MN=6，即N與D重合，

設PM交EC于點I，PD交EC于點G，重疊部

分為等腰梯形IMNG，見圖4．S=×62﹣×22=8，

綜上所述：當0≤t≤1時，S=2t+6；

當1＜t＜2時，S=﹣2t2+6t+4；

當t=2時，S=8．

∵，

∴S的最大值是 ．