Question

【題目】在平面直角坐標系中，矩形的邊OA、OC分別落在x軸、y軸上，O為坐標原點，且OA=8，OC=4，連接AC，將矩形OABC對折，使點A與點C重合，折痕ED與BC交于點D，交OA于點E，連接AD，如圖①.

（1）求點的坐標和所在直線的函數關系式；

（2）的圓心始終在直線上（點除外），且始終與x軸相切，如圖②.

①求證： 與直線AD相切；

②圓心在直線AC上運動，在運動過程中,能否與y軸也相切？如果能相切，求出此時與x軸、y軸和直線AD都相切時的圓心的坐標；如果不能相切，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）D（5,4）；AD所在直線的函數關系式為.（2）①證明見解析；②M點的坐標為（， ）

【解析】（1）設CE=t,

∵矩形OABC對折，使A與C重合（折痕為ED），OA=8，OC=4

∴CE=AE=t，∠AED=∠CED，

∴OE=OA-AE=8-t，

在Rt△OCE中，∵OE2+OC2=CE2，

∴42+(8-t)2=t2，解得t=5，

即CE=AE=5

∵BC//OA，

∴∠CDE=∠AED，

∴∠CDE=∠CED，

∴CD=CE=5.

∴D（5,4）

設直線AD的解析式 為y=kx+b，將A（8,0）、D（5,4）代入解析式可得

解得

AD所在直線的函數關系式為

（2）①∵四邊形OABC為矩形，

∴BC//OA,

∴∠DCA=∠CAO,

又∵矩形OABC對折，使A與C重合（折痕為ED），

∴DE為AC的垂直平分線

∴CD=AD,

∴∠DCA=∠DAC,

∴∠DAC=∠CAO,

∴AC平分∠DAO,

∴AC上的點到直線AO和直線AD的距離相等，

∴M點到直線AO和直線AD的距離相等，

∵始終與x軸相切，

∴M點到直線AO的距離為半徑r，

∴M點到直線AD的距離也為半徑r，

∴直線AD與相切.……………………………………………………9分

②在直線AC上運動，在運動過程中,能與y軸也相切.

如果與y軸相切，可知圓心M到y軸的距離為半徑，

由①可知M（8-2r,r）所以只需使8-2r=r，

即當r為時， 與x軸、y軸和直線AD都相切，

∴M點的坐標為（， ）