Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線頂點為C（1，2），且與直線y＝x交于點B（，）；點P為拋物線上O，B兩點之間一個動點（不與O，B兩點重合），過P作PQ∥y軸交線段OB于點Q．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當PQ的長度為最大值時，求點Q的坐標；

（3）點M為拋物線上O，B兩點之間一個動點（不與O，B兩點重合），點N為線段OB上一個動點；當四邊形PQNM為平行四邊形，且PN⊥OB時，請直接寫出Q點坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣2x2+4x；（2）當PQ的長度為最大值時，點Q的坐標為（，）；（3）點Q的坐標為（，）

【解析】

（1）由拋物線的頂點坐標設出拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2+2（a≠0），代入點B的坐標即可求出a值，進而可得出拋物線的解析式；

（2）設點P的坐標為（x，﹣2x2+4x）（0＜x＜），則點Q的坐標為（x，x），進而可得出PQ＝﹣2x2+3x，再利用二次函數的性質即可解決最值問題；

（3）設點Q的坐標為（m，m），點N的坐標為（n，n），則點P的坐標為（m，﹣2m2+4m），點M的坐標為（n，﹣2n2+4n），根據平行四邊形的性質可得出m+n＝，由PN⊥OB及直線OB的解析式可得出△PNQ為等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得出PQ＝2（n﹣m），結合PQ＝﹣2m2+3m，m+n＝，即可得出關于m的一元二次方程，解之取大于0小于的值即可得出結論．

解：（1）∵拋物線頂點為C（1，2），

∴設拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2+2（a≠0）．

∵點B（，）在拋物線上，

∴＝a（﹣1）2+2，

∴a＝﹣2，

∴拋物線的解析式為y＝﹣2（x﹣1）2+2，即y＝﹣2x2+4x．

（2）設點P的坐標為（x，﹣2x2+4x）（0＜x＜），則點Q的坐標為（x，x），

∴PQ＝﹣2x2+4x﹣x＝﹣2x2+3x＝﹣2（x﹣）2+．

∵﹣2＜0，

∴當x＝時，PQ的長度取最大值，

∴當PQ的長度為最大值時，點Q的坐標為（，）．

（3）依照題意畫出圖形，如圖所示．

設點Q的坐標為（m，m），點N的坐標為（n，n），則點P的坐標為（m，﹣2m2+4m），點M的坐標為（n，﹣2n2+4n），

∴PQ＝﹣2m2+3m，MN＝﹣2n2+3n．

∵四邊形PQNM為平行四邊形，

∴PQ＝MN，即﹣2m2+3m＝﹣2n2+3n，

∴﹣2（m+n）（m﹣n）+3（m﹣n）＝0．

∵m≠n，

∴m+n＝，

∴n＝﹣m．

∵直線OB的解析式為y＝x，PN⊥OB，

∴△PNQ為等腰直角三角形，

∴PQ＝NQ＝2（n﹣m），即﹣2m2+3m＝3﹣4m，

整理得：2m2﹣7m+3＝0，

解得：m1＝，m2＝3（不合題意，舍去），

∴點Q的坐標為（，）．