Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C為半圓上一動點，過點C作⊙O的切線l的垂線BD，垂足為D，BD與⊙O交于點E，連接OC，CE，AE，AE交OC于點F．
（1）求證：△CDE≌△EFC；
（2）若AB=4，連接AC． ①當AC=時，四邊形OBEC為菱形；
②當AC=時，四邊形EDCF為正方形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，

∵BD⊥CD，

∴∠CDE=90°，

∵AB是直徑，

∴∠AEB=90°，

∵CD是切線，

∴∠FCD=90°，

∴四邊形CFED矩形，

∴CF=DE，EF=CD，

在△CDE和△EFC中，

，

∴△CDE≌△EFC．

（2）2；2
【解析】（2）解：①當AC=2時，四邊形OCEB是菱形． 理由：連接OE．

∵AC=OA=OC=2，
∴△ACO是等邊三角形，
∴∠CAO=∠AOC=60°，
∵∠AFO=90°，
∴∠EAB=30°，
∵∠AEB=90°，
∴∠B=60°，∵OE=OB，
∴△OEB是等邊三角形，
∴∠EOB=60°，
∴∠COE=180°﹣60°﹣60°=60°，∵CO=OE，
∴△COE是等邊三角形，
∴CE=CO=OB=EB，
∴四邊形OCEB是菱形．
所以答案是2．
②當四邊形DEFC是正方形時，

∵CF=FE，
∵∠CEF=∠FCE=45°，
∵OC⊥AE，
∴ ，
∴∠CAE=∠CEA=45°，
∴∠ACE=90°，
∴AE是⊙O的直徑，
∴ ，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴AC= OA=2 ．
∴AC=2 時，四邊形DEFC是正方形．
所以答案是2 ．