Question

【題目】如圖，已知：二次函數y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，其中A點坐標為（﹣3，0），與y軸交于點C，點D（﹣2，﹣3）在拋物線上，

（1）求拋物線的表達式；

（2）拋物線的對稱軸上有一動點P，求出PA+PD的最小值；

（3）若拋物線上有一動點M（點C除外），使△ABM的面積等于△ABC的面積，求M點坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）PA+PD的最小值是3；（3）（﹣1﹣，3），（﹣1+，3）或（﹣2，3）．

【解析】

（1）根據二次函數y=x2+bx+c的圖象過點A（-3，0），點D（-2，-3），可以求得該函數的解析式；

（2）根據題意和軸對稱-最短路線問題可以求得PA+PD的最小值；

（3）根據（1）中的函數解析式可以求得點C的坐標，從而可以求得△ABC的面積，進而得到△ABM的面積，從而可以求得點M的坐標．

（1）∵二次函數y＝x2+bx+c的圖象過點A（﹣3，0），點D（﹣2，﹣3），

∴，得，

即二次函數的解析式為y＝x2+2x﹣3；

（2）∵y＝x2+2x﹣3，

∴y＝0時，x＝﹣3或x＝1，

當x＝1時，y＝0，

∴點B的坐標為（1，0），

連接BD交對稱軸于點P，

∵PA＝PB，

∴PA+PD的最小值是線段BD的長，

∵點B（1，0），點D（﹣2，﹣3），

∴BD＝，

∴PA+PD的最小值是3；

（3）∵y＝x2+2x﹣3，

∴x＝0時，y＝﹣3，

∴點C的坐標為（0，﹣3），

設點M的坐標為（a，a2+2a﹣3），

∵△ABM的面積等于△ABC的面積，點A（﹣3，0），點B（1，0），點C（0，﹣3），

△ABC的面積是：，

∴=6，

∴|a2+2a﹣3|＝3，

解得，a1＝﹣1﹣，a2＝﹣1+，a3＝﹣2，a4＝0（舍去），

∴點M的坐標為（﹣1﹣，3），（﹣1+，3）或（﹣2，3）．