Question

【題目】如圖，已知平行四邊形中，，，，點在射線上，過點作，垂足為點，交射線于點，交射線于點，聯結，設.

（1）當點在邊上時，

①求的面積；（用含的代數式表示）

②當時，求的值；

（2）當點在邊的延長線上時，如果與相似，求的值.

Answer 1

【答案】（1）①，②3：1；（2）m=或.

【解析】

(1)①作EM⊥AB，DN⊥AB，由，即可求解；

②易證：AEF~BGF，得：，即：=，結合，，即可得到答案；

(2)由∠AEF=∠FGC=90°，與相似，分兩種情況討論：①當~時，②當~時，分別求出答案，即可.

(1) ①作EM⊥AB，DN⊥AB，如圖1，

∵，

∴EM：AM：AE=2：1：，DN：AN：AD=2：1：，

∵，

∴EM=，DN=，

∵，

∴，即：EF=2m，AF=，

∴，

即：

②∵在平行四邊形中，AD∥BC，

∴AEF~BGF，

∴，

∴==，

∵，

∴當時，=，解得：，（舍）

∴AE=，DE=，

∴=3：1；

(2)∵∠AEF=∠FGC=90°，

∴與相似，分兩種情況討論：

①當~時，如圖1，

∴∠AFE=∠FCG，

∵∠AFE+∠GBF=90°，

∴∠FCG+∠GBF=90°，

∴∠BFC=90°，

∴BF：CF：BC=1：2：，

∵BC=AD=，

∴BF=1，

∴AF=AB+BF=5+1=6，

∵AE：EF：AF=1：2：，

∴AE=6÷=，即：m=；

②當~時，如圖3，

∴∠AFE=∠CFG，

在BFG和CFG中，

∵

∴BFGCFG(ASA)，

∴BG=CG=，

∵BG：GF：BF=1：2：，

∴BF=，

∴AF=5+=，

∵AE：EF：AF=1：2：，

∴AE=÷=，即：m=；

綜上所述：m=或.

圖1

圖2

圖3